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Une nouvelle vision du carré magique

En mathématique, le carré magique est en lien avec tous les algèbres de Lie exceptionnels. Des mathématiciens financés par l'UE ont formulé des axiomes pour décrire de manière uniforme ces cousins légèrement excentriques qui ont toujours des connexions étroites avec la géométrie riemannienne.
Une nouvelle vision du carré magique
Dans les années 1950, le mathématicien belge Jacques Tits a présenté pour la première fois ce que Hans Freudenthal allait appeler plus tard le carré magique. Il s'agissait, en essence, d'un tableau 4x4 avec les «cartes d'identité» pour les sous-géométries qui avaient déjà été construites, sauf pour la toute dernière entrée.

Depuis lors, les géométries du carré magique, également appelées carré magique de Freudenthal-Tits, ont fait l'objet de nombreuses études sur les nombres complexes avec des outils de la géométrie algébrique et la théorie de la représentation. Dans le projet financé par l'UE GELATI (Geometry of exceptional Lie algebras à la Tits), les mathématiciens ont exploré une nouvelle approche.

Les chercheurs se sont concentrés sur les géométries de la seconde rangée du carré magique de Freudenthal-Tits et ont proposé une description géométrique uniforme des analogies sur les champs arbitraires. Les axiomes établis sont une version plus abrégée de ceux formulés par le passé pour caractériser les variétés quadratiques sur des champs contenant un nombre fini d'éléments.

Pour atteindre cette généralisation, l'équipe GELATI a débuté à partir de la géométrie de la première cellule de la seconde rangée. La définition de la plus petite variété complexe était généralisée aux champs arbitraires et ensuite à toutes les dimensions. L'étape suivante consistait à envisager, au lieu des coniques, des quadriques hyperboliques dans un espace aux dimensions impaires et des quadriques paraboliques dans un espace aux dimensions paires.

Les résultats du projet GELATI qui contribueront à une meilleure compréhension de la signification géométrique des algèbres de Lie ont été détaillés dans plusieurs publications scientifiques.

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Mots-clés

Carré magique, Algèbres de Lie, géométrie, Freudenthal-Tits, théorie de la représentation