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FP7

A-DAP Ergebnis in Kürze

Projektreferenz: 329084
Gefördert unter: FP7-PEOPLE
Land: Vereinigtes Königreich

Kontrolltheorie aus algebraisch-geometrischer Sicht

Die Kontrolltheorie ist ein Zweig der Naturwissenschaften, der die Mathematik mit einem Ableger der Ingenieurwissenschaften, der Regelungstechnik, in Verbindung bringt. Fast jede einzelne Spielart der Mathematik findet in der Kontrolltheorie Anwendung und Probleme der System- und Regelungstechnik bedeuten stets neue Herausforderungen für die Mathematik. Im Rahmen dieses Projekts wendete man Verfahren der äußeren Algebra sowie der algebraischen Geometrie und Optimierung an, um kritische Häufigkeiten wie etwa Pole und Nullstellen unter Kompensation (Systemtransformation) für lineare Systeme zu finden. Probleme dieser Art werden gekürzt, um reale Lösungen nichtlinearer Gleichungen zu finden, die als Schnittpunkt von Mannigfaltigkeiten ausgedrückt werden. Das Projekt hat eine Methodik eingeführt, um genaue und angenäherte Lösungen zu definieren.
Kontrolltheorie aus algebraisch-geometrischer Sicht
Der Eingang eines dynamischen Systems wird durch einen Controller mit Stimulus und Befehlen definiert, um die gewünschte Reaktion der Nutzer zu erzielen. Hauptziel der Kontrolltheorie ist, die gewünschte Ausgangsgröße herzunehmen und die Aktion zu bestimmen, die erforderlich ist, um die Unterschiede zur tatsächlichen Ausgangsgröße zu korrigieren, indem eine geeignete Rückkopplungsaktion durchgeführt wird.

Das EU-finanzierte Projekt A-DAP (Approximate solutions of the determinantal assignment problem and distance problems) konzentrierte sich auf eine solche abstrakte Problemformulierung. Das Determinantenzuordnungsproblem kann in ein lineares und ein multilineares Subprobleme zerlegt werden, wobei das lineare Problem eine lineare Mannigfaltigkeit einführt und das multilineare Problem durch quadratische Charakterisierung der Graßmann-Mannigfaltigkeit eines projektiven Raums definiert wird. Die Lösbarkeit des Determinantenzuordnungsproblems (Determinantal Assignment Problem, DAP) wird reduziert, um reale Lösungen der linearen und nichtlinearen Gleichungen oder andernfalls reale Schnittpunkte beider Mannigfaltigkeiten zu finden. Die Lösungen definieren die Kompensatoren, die kritische Häufigkeiten des Systems wie etwa die Pole und Nullstellen zuordnen.

Die im Rahmen von A-DAP eingeführte neue Methodik nutzt eine Matrixdarstellung der Graßmann-Mannigfaltigkeit, Distanzprobleme zwischen Mannigfaltigkeiten und Begriffe der ungefähren Zerlegung von Tensoren, um zu exakten Lösungen zu gelangen, wenn das Problem eine Lösung und Näherungslösungen hat, wenn keine exakten Schnittpunkte von Mannigfaltigkeiten existieren. Dieses Problem konnte das lineare Teilproblem lösen. Der Ansatz nimmt eine qualitative Veränderung im Ansatz der klassischen algebraischen Geometrie vor, wo man nach realen Schnittpunkten sucht, indem Probleme des Abstands zwischen den betreffenden Mannigfaltigkeiten untersucht werden.

In der Mathematik ist eine Graßmann-Mannigfaltigkeit in einem projektiven Raum eine Mannigfaltigkeit, die alle linearen Teilräume eines Vektorraums einer gegebenen Dimension charakterisiert. Die Wissenschaftler führten eine Reihe von neuen Werkzeugen ein, welche die Abstandsberechnung eines gegebenen Vektors gestatten, der die Mannigfaltigkeit beschreibt, die durch das lineare Teilproblem aus der Graßmann-Mannigfaltigkeit vorausgesetzt wird. Insbesondere wurden die eingeschränkte Optimierung und die Zerlegung von Tensorverfahren angewandt, um das Problem der Distanz zwischen linearen und Graßmann-Mannigfaltigkeiten in den Griff zu bekommen. Ist der Abstand gleich Null, dann wird die Lösung des entsprechenden Schnittstellenproblems gefunden. Andernfalls könnte der Ansatz zu einer Näherungslösung des DAP hinführen.

Das angenäherte DAP könnte im zweidimensionalen Fall einer geschlossenen Lösung, die abgeleitet wurde, vollständig gelöst werden. Zudem ist ein speziell dafür vorgesehener numerischer Algorithmus für DAP-Näherungen in höheren Dimensionen abgeleitet worden, wozu die neue Darstellung der Graßmann-Mannigfaltigkeit und deren Doppeltes verwendet wurde. In diesem Fall wird die Lösung durch Zerlegung des parametrisierten Tensors ermittelt, der aus dem System linearer Gleichungen abgeleitet wurde.

A-DAP schloss mit wichtigen Erweiterungen dieser Methodik für die Neugestaltung elektrischer Schaltungen, die aus Widerstand, Spule und einem Kondensator bestehen. Auch eine neue Formulierung als Entscheidungsfindungsproblem wurde vorgeschlagen, was den Weg für praktische Anwendungen in Management- und Finanzfragen ebnet.

Verwandte Informationen

Schlüsselwörter

Kontrolltheorie, nichtlineare Gleichungen, A-DAP, Determinantenzuordnungsproblem, begrenzte Optimierung, rechnergestützte algebraische Geometrie
Datensatznummer: 181120 / Zuletzt geändert am: 2016-04-26
Bereich: Industrielle Technologien