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Holonomie und singuläre Blätterung

Die Holonomie hat sich als ein wertvolles Instrument für das Verständnis der gebundenen Bewegung erwiesen, bei der ein Objekt sich in mehr Dimensionen bewegen soll als es erlaubt ist, zu tun. EU-finanzierte Mathematiker haben die Verwendung der Holonomie vor kurzem von regelmäßiger Blätterung auf die singuläre Blätterung erweitert.
Holonomie und singuläre Blätterung
Eine Verteilung, die in eingetauchte Verteilungen aufgeteilt ist - auch als Blätter bezeichnet - ist eine blätterige Verteilung. Blätterungen treten während des Lösens von Differentialgleichungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik auf, unter anderem in der mathematischen Physik und in der Regelungstheorie zum Verhalten von dynamischen Systemen.

Während jedoch einfache "normale" Blätterungen bereits eingehend untersucht wurden, ist die Mehrheit der Blätterungen jedoch anormal. Diese singulären Blätterungen, die auf Verteilungen als Submodul von kompakt unterstützten Vektorfeldern erscheinen, standen im Mittelpunkt des Projekts NCGSF (Noncommutative geometry for singular foliations).

Die Forscher formulierten die Baum-Connes (BC)-Vermutung für jede beliebige singuläre Blätterung. Diese mutmaßliche Verallgemeinerung des Atiyah-Singer-Theorems besagt, dass rein topologische Objekte mit rein analytischen zusammenfallen. Der Beweis hierfür war dank der Konstruktion eines sogenannten pathologischen Holonomie-Gruppoids möglich.

Das Holonomie-Gruppoid ist eine mathematische Struktur, die die Symmetrien von Blätterungen nachzeichnet. Das war der Schlüssel zur Entwicklung des analytischen Teils der BC-Vermutung. Insbesondere führten die Forscher den Begriff der Holonomie-Transformation ein, eine Äquivalenzklasse von Diffeomorphismen.

Für die Formulierung des geometrischen Teils verwendeten die Forscher das LeGall-Tu-Modell. Aber zuerst war es notwendig, die Bedingungen zu definieren, die die longitudinale Glätte des Holonomie-Gruppoids sorgfältig gewährleisten. Erst dann war es möglich, das Modell der normalen Form eines regelmäßig verblätterten Verteilers um ein kompaktes Blatt herum zu formulieren.

Die im Rahmen von NCGSF angewandte Methodik wurde in einer Reihe von drei Publikationen in internationalen Fachzeitschriften dokumentiert. Sie baut auf früheren Ergebnissen der Forscher auf, die diese mit der Konstruktion des Holonomie-Gruppoids jeder singulären Blätterung verfeinerten.

Verwandte Informationen

Fachgebiete

Scientific Research

Schlüsselwörter

Holonomie, singuläre Blätterung, blätterige Verteilung, Mathematik, NCGSF, Baum-Connes-Vermutung
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