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Asignaciones de recubrimiento en optimización matemática

Muchos problemas que surgen de la optimización y el análisis de conjuntos de valores dan lugar al estudio de las propiedades de recubrimiento de las asignaciones. Un grupo de matemáticos financiado por la Unión Europea ha estudiado las asignaciones en espacios métricos y funcionales en busca de soluciones de ecuaciones y desigualdades.
Asignaciones de recubrimiento en optimización matemática
Las propiedades de las asignaciones, junto con la regularidad métrica y la continuidad de Lipschitz, ofrecen una de las principales herramientas para clasificar espacios. En particular, la propiedad de cobertura se utiliza para investigar puntos fijos y de coincidencia de asignaciones y obtener las condiciones de extremos para problemas de optimización.

En la primera parte del proyecto COVMAPS (Covering mappings and their applications in functional equations, difference equations and optimization), un grupo de matemáticos identificó las condiciones suficientes para que las asignaciones univaluadas o con conjuntos de valores sean recubrimientos locales y tengan una asignación inversa continua.

A continuación, se estudiaron las propiedades de las asignaciones de cobertura en espacios métricos generalizados. Para derivar las condiciones de solucionabilidad en términos de asignaciones de cobertura, el equipo consideró el problema de los puntos de coincidencia para asignaciones con dos conjuntos de valores. Los resultados de este problema indicaron cómo confirmar la existencia de puntos fijos dobles.

La segunda parte de COVMAPS se centró en ecuaciones funcionales y de diferencias y en los sistemas de ecuaciones sujetas a restricciones. Los matemáticos buscaron las condiciones de solucionabilidad en espacios métricos generalizados y estudiaron las propiedades de sus soluciones en el caso de funciones continuas, medibles y convexas.

A continuación, los miembros del proyecto estudiaron un problema de control óptimo en el cual las ecuaciones diferenciales ordinarias se habían sustituido por ecuaciones integrales de Volterra y restricciones mixtas. Este nuevo sistema de ecuaciones se redujo a un problema de dobles puntos fijos de asignaciones con valores de dos conjuntos.

En otras palabras, el equipo de COVMAPS obtuvo condiciones suficientes para resolver el problema de control considerado y realizar una estimación de sus soluciones. Problemas parecidos surgen de forma natural en la ingeniería moderna que, a menudo, requiere optimizar diseños basados en modelos numéricos.

Los resultados de COVMAPS pertenecen al reino del análisis matemático. Aun así, las nuevas herramientas desarrolladas también son interesantes para la comunidad dedicada a la investigación en ingeniería.

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Palabras clave

Asignaciones de recubrimiento, optimización matemática, COVMAPS, ecuaciones funcionales, ecuaciones diferenciales
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