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Hydrodynamik-basierte Gleichungssysteme in 2+1-Raumzeit

Seit der Entwicklung einer mathematischen Theorie für Systeme hydrodynamischer Art durch B. Riemann im 19. Jahrhundert gab es viele herausragende Beiträge dazu. Vor kurzem erforschten EU-finanzierte Wissenschaftler die Beziehung zwischen den entsprechenden partiellen Differentialgleichungen und Solitonengleichungen.
Hydrodynamik-basierte Gleichungssysteme in 2+1-Raumzeit
Hydrodynamik-basierte Systeme sind Systeme von quasilinearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Diese Art von Gleichung tritt natürlicherweise bei der Untersuchung von Gasdynamik, Hydrodynamik, chemischer Kinetik, Differentialgeometrie und typologische Feldtheorie auf, um nur einige Bereiche zu nennen.

Auf der anderen Seite sind Solitonengleichungen wie die nichtlinearen Schrödinger-Gleichungen in der Regel nichtlineare partielle Differentialgleichungen, die dispersive Terme enthalten (als nicht zum hydrodynamischen Typ gehören). Die Anwendung der Witham-Mittelung auf nichtlineare partielle Differentialgleichungen resultiert jedoch in einem Gleichungssystem des hydrodynamischen Typs.

Die EU-geförderten Wissenschaftler betrachteten im Rahmen einer bidifferentialen Berechnung Gleichungen, die einer Matrix-Riemann-Gleichung ähneln. Im Rahmen des Projekts HYDRON (Near hydrodynamic type systems in 2 +1 dimensions) führten verschiedene Möglichkeiten der bidifferentialen Berechnung erster Ordnung zu einer Vielzahl von Gleichungen.

Zu den prominentesten integrierbaren Gleichungen, die die Forscher erhielten, gehörten 2+1-dimensionale nichtlineare Schrödinger-Gleichungen. Für alle Gleichungen führte eine binäre Transformation zu einer Bidifferentialrechnung, mit der Lösungen der zugehörigen Riemann-Gleichungen erzeugt werden können.

Darüber hinaus konnten von Matrix-Versionen der Riemann-Gleichungen im Zusammenhang mit einer integrierbaren Gleichung Multi-Solitonen-Typ-Lösungen generiert werden. Dazu gehören Multi-Solitonen-Art-Lösungen der (2+1)-nichtlinearen Schrödinger und die selbstdualen Yang-Mills-Gleichungen.

Die selbstdualen Yang-Mills-Gleichungen entstehen sowohl in der Eich- als auch in der klassischen allgemeinen Relativitätstheorie. Das HYDRON-Team befasste sich auch mit den sogenannten Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde-Gleichungen. In der Physik drücken diese Gleichungen Assoziativitätseinschränkungen bestimmter Algebren im Zusammenhang mit topologischen Feldtheorien aus.

Aus mathematischer Sicht bilden diese Gleichungen ein quasilineares System, oder mit anderen Worten: ein hydrodynamikartiges System. Zur gleichen Zeit weisen sie viele Merkmale einer Solitonengleichung auf. Insbesondere "explodieren" ihre Lösungen nicht in endlicher Zeit.

Diese Funktion hat eine Erklärung in HYDRON gefunden, weil es möglich ist, ein solches hydrodynamikartiges System entsprechend der Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde-Gleichung zu konstruieren.

Die Theorie von Systemen des hydrodynamischen Typs ist reichhaltig und hat große Auswirkungen in der modernen angewandten Mathematik und der mathematischen Physik. Die Wissenschaftler von HYDRON leisteten einen wichtigen Beitrag in einem noch recht unerforschten Terrain: der 2+-1-Raumzeit.

Verwandte Informationen

Fachgebiete

Scientific Research

Schlüsselwörter

Hydrodynamik-basierte Systeme, partielle Differentialgleichungen, Solitonengleichungen, HYDRON
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