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Des systèmes d'équations de type hydrodynamique dans un espace-temps 2+1

Depuis le développement d'une théorie mathématique des systèmes de type hydrodynamique par B. Riemann au XIXe siècle, de nombreuses contributions remarquables sont venues l'enrichir. Récemment, des scientifiques financés par l'UE ont exploré les relations entre des équations différentielles partielles et des équations à solitons.
Des systèmes d'équations de type hydrodynamique dans un espace-temps 2+1
Les systèmes de type hydrodynamique se caractérisent par des équations différentielles partielles, quasi-linéaires et du premier ordre. Ce type d'équations se rencontre par exemple dans l'étude de la dynamique des gaz, l'hydrodynamique, la cinétique des réactions chimiques, la géométrie différentielle, et la théorie du champ topologique.

De leur côté, les équations à solitons (comme les équations non linéaires de Schrödinger) sont des équations différentielles partielles non linéaires qui comportent des termes de dispersion (qui ne sont donc pas de type hydrodynamique). Cependant, l'application de la moyenne de Witham à des équations différentielles partielles non linéaires conduit à un système d'équations de type hydrodynamique.

Des scientifiques financés par l'UE ont considéré des équations qui ressemblent à une équation matricielle de Riemann, dans le contexte de calculs bidifférentiels. Dans le cadre du projet HYDRON (Near hydrodynamic type systems in 2 +1 dimensions), le fait de choisir différents calculs bidifférentiels du premier ordre a conduit à diverses équations.

Parmi les équations intégrables obtenues les plus notables figuraient des équations non linéaires de Schrödinger de dimension 2+1. Pour toutes les équations, une transformation binaire a conduit des calculs bidifférentiels spécialisés pour générer des solutions des équations de Riemann associées.

En outre, les chercheurs ont pu générer des solutions à plusieurs solitons pour les versions matricielles des équations de Riemann associées à une équation intégrable. Il s'agissait par exemple de solutions des équations de Schrödinger non linéaire (2+1), ainsi que des équations de Yang-Mills.

Ces dernières surviennent dans les théories de jauge ainsi que dans la théorie de la relativité générale. L'équipe de HYDRON s'est aussi intéressée aux équations de Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde. En physique, ces équations expriment les contraintes d'associativité de certaines algèbres en rapport avec les théories de champ topologique.

D'un point de vue mathématique, ces équations forment un système quasi-linéaire, donc de type hydrodynamique. De plus, elles ont de nombreuses caractéristiques d'une équation à solitons. En particulier, leurs solutions «n'explosent pas» dans un délai fini.

Les chercheurs d'HYDRON ont trouvé une explication à ce comportement, car il est possible de construire un tel système de type hydrodynamique équivalent à une équation Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde.

La théorie des systèmes de type hydrodynamique est très riche. Elle a beaucoup d'influence sur les mathématiques appliquées modernes et la physique mathématique. Les scientifiques du projet HYDRON ont ainsi apporté une contribution importante à des concepts encore peu explorés. espace-temps 2+1.

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Mots-clés

Systèmes de type hydrodynamique, équations différentielles partielles, équations à solitons, HYDRON