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FP7

RSC AND RMCF Resultado resumido

Project ID: 276879
Financiado con arreglo a: FP7-PEOPLE
País: Reino Unido

Superficies mínimas y biofísica

El estudio de las superficies mínimas, cuyo grafo minimiza el área entre todas las superficies dentro de un contorno determinado, se inició hace mucho tiempo. A pesar de ello, todavía quedan avances importantes por realizar y aplicaciones impactantes en otros campos.
Superficies mínimas y biofísica
Las superficies mínimas son de dos tipos distintos: estables e inestables. Una superficie mínima se llama estable si su área es la más pequeña entre la de todas las superficies parecidas dentro del mismo contorno. En el caso de una superficie mínima inestable, incluso pequeñas variaciones pueden reducir su área.

Los matemáticos que trabajaron en el proyecto RSC AND RMCF (Rigidity of scalar curvature and regularity for mean curvature flow), financiado por la Unión Europea, se centraron en el segundo tipo. Las superficies mínimas inestables parecían interesantes, pero lo más importante es que, hasta la fecha, se conocía muy poco sobre sus propiedades.

El trabajo de RSC AND RMCF se dividió en dos partes. En primer lugar, los matemáticos demostraron la existencia de superficies mínimas inestables simples en 3-esferas (un análogo de una esfera con mayores dimensiones) curvadas positivamente. A continuación, encontraron que el área de estas superficies mínimas está delimitada de forma óptima.

El método desarrollado para demostrar que, además de los glomos, cualquier 3-variedad tiene un número infinito de superficies mínimas inestables, se utilizó para determinar qué forma toroidal era la menos curvada. Esta simple pregunta la había planteado Thomas Willmore en 1965 y seguía sin resolver.

El toro de Clifford parecía el candidato más prometedor. Los matemáticos hallaron que este tipo de toro en particular, dentro de la 3-esfera unitaria en el espacio euclídeo de cuatro dimensiones, abarcaba menos área que cualquier familia de superficies con cinco parámetros.

Los hallazgos de RSC AND RMCF sugieren que el estudio de las superficies mínimas inestables es una dirección nueva interesante para estudiar en el análisis geométrico. Además, encontrar formas en equilibrio tiene implicaciones en la investigación biofísica destinada a explicar la forma que adquieren las células sanguíneas humanas.

No es sorprendente que los biofísicos hayan llegado, de forma independiente, a la conjetura de Willmore de que el toro de Clifford es la forma toroidal menos curvada observando vesículas toroidales. Se espera que otras preguntas aún sin respuesta en la geometría aparezcan también en otros contextos de distintas ramas de la ciencia.

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Palabras clave

Superficies mínimas, biofísica, RSC AND RMCF, curvatura, 3-esferas, 3-variedades
Número de registro: 188370 / Última actualización el: 2016-08-25
Dominio: Tecnologías industriales