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Biofisica e superfici minime

Lo studio delle superfici minime il cui grafo individua quella di area minima tra tutte le superfici all’interno di un determinato contorno, è iniziato molto tempo fa. Ciononostante, si continua a fare significativi progressi e a individuarne applicazioni molto interessanti in altri campi.
Biofisica e superfici minime
Le superfici minime sono di due tipi diversi: stabile e instabile. Una superficie minima viene detta stabile se la sua area è la più piccola tra le superfici simili con lo stesso contorno. Nel caso di una superficie minima instabile, anche piccole variazioni possono diminuire la sua area.

I matematici impegnati nel progetto RSC AND RMCF (Rigidity of scalar curvature and regularity for mean curvature flow), finanziato dall’UE, si sono concentrati sul secondo tipo. Le superfici minime instabili sembravano interessanti, ma la cosa più importante è che attualmente si conosce molto poco circa le loro proprietà.

Il lavoro per il progetto RSC AND RMCF è stato diviso in due parti. In primo luogo, i matematici hanno dimostrato l’esistenza di semplici superfici minime instabili, decisamente curve, sulla 3-sfera, un analogo nello spazio a livello dimensionale più alto-dimensionale di una sfera. In seguito si è verificato che l’area di tali superfici minime è delimitata in modo ottimale.

La metodologia sviluppata per dimostrare che, oltre alle ipersfere, ogni 3-varietà ha un numero infinito di superfici minime instabili, è stata usata per trovare quale forma toroidale sia la meno curva. Questa semplice domanda fu posta nel 1965 da Thomas Willmore e rimase senza risposta.

Il toro di Clifford sembrava il candidato più promettente. I matematici hanno scoperto che questo particolare tipo di toro, giacente all’interno dell’unità 3-sfera nello spazio euclideo a quattro dimensioni, copre un’area minore rispetto a qualsiasi famiglia di superfici a cinque parametri.

I risultati di RSC AND RMCF suggeriscono che lo studio delle superfici minime instabili è una promettente nuova direzione da esplorare nell’analisi geometrica. Inoltre, l’individuazione di forme in equilibrio ha implicazioni nella ricerca biofisica, con l’obiettivo di spiegare la forma che assumono le cellule del sangue umane.

Non sorprende che i biofisici siano arrivati in modo indipendente alla congettura di Willmore che il toro di Clifford sia la forma toroidale meno curva, osservando le vescicole toroidali. Ci si attende che le domande ancora senza risposte in geometria compaiano anche in differenti contesti di altri rami della scienza.

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Keywords

Superfici minime, biofisica, RSC AND RMCF, curvatura, 3-sfera, 3-varietà