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Los colores de la aleatoriedad

Los colores de la luz blanca, descompuesta mediante un prisma, constituyen sus espectros de difracción. Un grupo de matemáticos financiado por la Unión Europea estudió modelos sencillos de fenómenos del mundo real con espectros interesantes con el fin de comprender su relación con la aleatoriedad.
Los colores de la aleatoriedad
En los años cincuenta, Eugene Wigner introdujo las matrices aleatorias, cuyos elementos son variables aleatorias, para modelizar la estructura de niveles de energía de los núcleos de grandes átomos. Aproximadamente en la misma época, Philip Anderson utilizó operadores de Schrödinger aleatorios para modelizar sólidos desordenados y explicar la transición de fase de aislante a metal.

El concepto de grafos aleatorios fue sugerido por Paul Erdös y Alfred Rényi para demostrar la existencia de grafos que cumplían distintas propiedades. Durante los años siguientes, el estudio de estos modelos matemáticos de redes del mundo real transformó el campo de la combinatoria.

Las matrices aleatorias, los operadores de Schrödinger aleatorios y los grafos aleatorios tienen propiedades espectrales interesantes alrededor de las cuales se desarrolló el proyecto SPECTRA (Spectra of random matrices, graphs and groups). El objetivo de los investigadores era abordar preguntas que seguían pendientes.

El equipo de SPECTRA analizó los modelos matemáticos de cables largos realizando una aproximación mediante infinitos caminos discretos. Las funciones de onda correspondientes a dichos caminos muestran que podrían ser superconductores. Sin embargo, los cables finos no son buenos conductores, así que, en consecuencia, se propuso otro modelo.

Los investigadores trabajaron sobre una versión alterada aleatoriamente y analizaron la forma de las funciones de onda, así como la regularidad del espectro medio y su comportamiento a energía cero. En este caso, se determinó que las funciones de onda estaban localizadas, lo cual sugiere que los cables largos eran aislantes.

A continuación, la investigación de SPECTRA se centró en grafos regulares aleatorios dispersos que se pueden utilizar para probar teóricamente algoritmos destinados a redes del mundo real. El equipo estudió los algoritmos locales aleatorios en los cuales se pone un valor aleatorio en cada nodo y, a continuación, los nodos cambian de estado según lo que ven a su alrededor.

El funcionamiento de estos algoritmos superó el de los algoritmos voraces desarrollados en el pasado con este fin, al utilizar funciones de onda en los grafos. No obstante, los algoritmos locales aleatorios no pueden funcionar si el grado de conectividad en la red es relativamente elevado.

Recientemente, el análisis espectral de matrices definidas sobre grafos aleatorios ha llamado la atención por sus implicaciones para la informática, las matemáticas y la física. El trabajo de SPECTRA ha puesto de manifiesto la existencia de relaciones entre la estructura geométrica de matrices y grafos con sus espectros. Los hallazgos se han descrito en varias publicaciones, cuyas separatas en formato electrónico están disponibles en arXiv.

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Palabras clave

Matrices aleatorias, operadores de Schrödinger aleatorios, grafos aleatorios, redes del mundo real, SPECTRA
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