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Une théorie des cordes mathématiquement rigoureuse

La recherche d'une approche mathématiquement rigoureuse de la théorie des cordes a conduit les scientifiques à aborder des problèmes de physique mathématique dont les racines se trouvent dans la géométrie énumérative.
Une théorie des cordes mathématiquement rigoureuse
Si la théorie des cordes est le principal candidat pour une application théorique en gravité quantique, elle a également donné naissance à de nouveaux concepts mathématiques particulièrement intéressants. Sans tous les développements parallèles dans le domaine des mathématiques, la théorie des cordes n'aurait pas pu avoir autant de succès. Le principal objectif du projet VIRTBIR (Virtual birationality), financé par l'UE, était de fournir un fondement théorique solide aux résultats inspirés de la physique obtenus pour des problèmes énumératifs et en particulier, les invariants de comptage de courbes.

En géométrie énumérative, les invariants sont utilisés pour compter les courbes ayant des propriétés spécifiques dans une variété projective complexe. Les conditions sont telles que le nombre de courbes les satisfaisant n'est ni nul ni infini. En d'autres termes, ils véhiculent des informations importantes sur la géométrie de la variante concernée.

Le travail de VIRTBIR était axé autour des invariants de Gromov-Witten. Pour une variété projective lisse, ces invariants comptent les courbes de façon plutôt précise. Il est à noter qu'on obtient le même nombre de courbes que ce qu'on attend naïvement de la géométrie algébrique. Ces nombres sont également constants en cas de déformations de la variété.

Les scientifiques ont proposé une série de nouveaux algorithmes pour calculer les invariants de Gromov-Witten. Ils ont commencé par développer de nouvelles méthodes pour associer des classes fondamentales d'espaces de modules. L'approche adoptée peut cependant s'appliquer à d'autres théories de comptage de courbes.

Les invariants de Gromov-Witten ont évolué parallèlement à la théorie de jauge, la théorie quantique des champs, la géométrie symplectique et la géométrie algébrique. Le problème de leur définition mathématique a été résolu vers 1995, mais leur calcul s'est avéré difficile et loin d'être résolu.

Non seulement VIRTBIR a esquissé une stratégie efficace pour calculer les invariants de Gromov-Witten, mais également pour comparer différents types d'invariants de comptage en géométrie énumérative. Fondamentalement, les résultats confirment une conjecture de la théorie des invariants de comptage motivée par la physique, à savoir le fait qu'ils sont étroitement liés.

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Mots-clés

Théorie des cordes, géométrie énumérative, VIRTBIR, invariants de Gromov-Witten, Géométrie algébrique, algorithmes