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FP7

PROBCOMB Resultado resumido

Project ID: 327763
Financiado con arreglo a: FP7-PEOPLE
País: Hungría

Métodos probabilísticos para la combinatoria

La combinatoria probabilística es un campo de las matemáticas relativamente reciente, introducido para resolver problemas de combinatoria. Un equipo de matemáticos financiado con fondos de la Unión Europea se centró en nuevas y complejas preguntas que han surgido al resolver viejos problemas.
Métodos probabilísticos para la combinatoria
Bajo una gran influencia de los matemáticos húngaros Paul Erdös y Alfred Rényi, la motivación principal para la introducción de la combinatoria probabilística fueron los problemas de combinatoria externa. En esta área, a menudo es necesario producir objetos discretos, tales como grafos con propiedades que parecen contradictorias.

La idea innovadora que marcó el inicio de la combinatoria probabilística fue el hecho de que en ocasiones existe un experimento aleatorio cuyo resultado probable es el objeto particular. Esta forma de producir objetos discretos con propiedades específicas se conoce como método probabilístico.

En la actualidad, el método probabilístico se ha convertido en una herramienta de gran utilidad en muchas más áreas que la combinatoria externa. En el marco del proyecto PROBCOMB (Sparse discrete structures), los matemáticos encontraron aplicaciones en áreas que van desde la teoría de grafos extremales a la teoría aditiva y combinatoria de los números.

El equipo de PROBCOMB investigó las propiedades de estructuras combinatorias que no contienen copias de una estructura de pequeño tamaño determinada. En esta línea de investigación se obtuvieron resultados importantes, incluida la determinación del número máximo de grafos sin triángulos en n vértices.

Además de este problema, Erdös también había planteado la cuestión del número máximo de subconjuntos de números enteros sin suma que existía. Esta cuestión específica cuenta con una larga historia. Al considerar todos los posibles subconjuntos de un conjunto máximo sin suma determinado, los científicos fueron capaces de determinar no solo el límite de conjuntos sin suma inferior sino también el superior.

Para resolver el viejo problema de los colores de los bordes de grafos con n vértices, originalmente planteado por Erdös y Vera T. Sós, los matemáticos utilizaron el método de las álgebras de banderas (flag algebras). Estas herramientas matemáticas se habían propuesto para tratar todos los tipos de estructuras combinatorias de manera uniforme.

Las álgebras de banderas se pueden utilizar específicamente en estructuras que poseen una propiedad hereditaria, concretamente que cualquier subconjunto de vértices de estas estructuras corresponde a otra estructura del mismo grupo. El equipo de PROBCOMB demostró que si n es una potencia de cinco, el grafo único de n vértices que maximiza el número de ciclos de cinco inducidos es una ampliación iterativa de un ciclo de cinco.

Los resultados de PROBCOMB representan una investigación exhaustiva de varias preguntas pendientes en combinatoria. En el proceso, han surgido nuevos problemas complejos y se han abierto nuevas líneas para futuras investigaciones.

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Palabras clave

Métodos probabilísticos, combinatoria, grafos, PROBCOMB, estructuras discretas, álgebras de banderas, flag algebras
Número de registro: 188526 / Última actualización el: 2016-09-14
Dominio: Tecnologías industriales