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Anwendungsmöglichkeiten in der Modelltheorie

Die Modelltheorie ist ein Zweig der mathematischen Logik, der sich mit abstrakten Strukturen auseinandersetzt, die traditionell mit anderen Bereichen der Mathematik in Verbindung stehen. EU-finanzierte Mathematiker arbeiteten daran, die Verbindungen zur algebraischen Analysis zu vertiefen und zu stärken und erzielten in dieser Hinsicht erstaunliche Anwendungsmöglichkeiten.
Anwendungsmöglichkeiten in der Modelltheorie
Die Untersuchung von o-minimalen Strukturen ist ein Bestandteil der Modelltheorie, die sich mit geordneten und folglich topologischen Strukturen mit bestimmten zahmen Eigenschaften auseinandersetzt. Hierbei wird die lineare Geometrie, die semialgebraische Geometrie und die globale subanalytische Geometrie stückweise generalisiert.

Die eindrucksvollsten Erfolge dieser modelltheoretischen Sichtweise auf die subanalytische Geometrie gehen unter anderem auf die Arbeit am Projekt MODALAN (Model theory and algebraic analysis) zurück. Nahezu alle Ergebnisse sind völlig neu und tragen zur Entwicklung eines neuen Formalismus bezüglich der sechs Operationen von Grothendieck bei.

Dieser Formalismus, der nach dem in Deutschland geborenen französischen Mathematiker Alexander Grothendieck benannt ist, entsprang ursprünglich „étale cohomologie“-Verhältnissen, die einem Morphismus von Schemata zugrundeliegen. In der Vergangenheit wurde der Formalismus der sechs Operationen auf semialgebraische und subanalytische Garben erweitert.

Das MODALAN-Team zeigte, dass die o-Minimalität nicht Grothendiecks Konzept der „topologie modérée“ realisiert. Der Formalismus der sechs Operationen wurde speziell auf o-minimale Garben erweitert und es wurden die cohomologischen Bestandteile erzielt, die erforderlich sind, um die pillaische Vermutung zu bestätigen.

Die Ähnlichkeit o-minimaler Gruppen zu realen Lie-Gruppen wurde durch eine steigende Anzahl an Theoremen bestärkt. Dies kulminierte in einem Nachweis der pillaischen Vermutung. Mathematiker hatten hierbei nicht die Vermutung, dass ihr o-minimales Universum eine Ordnungsart aufweist, die der realer Lie-Gruppen ähnelt.

MODALAN umfasste ebenfalls die Generalisierung der o-minimalen Theorie, um den Fall von T-Topologien abzudecken. Mathematiker untersuchten intensiv die Mikrolokalisation und Multispezialisierung subanalytischer Garben. Dies resultierte in 12 Papern, die in renommierten Peer-Review-Fachzeitschriften veröffentlicht wurden.

Das Projekt war stark multidisziplinär ausgelegt, da es sowohl die Gebiete Algebra und Analysis als auch die Gebiete Geometrie und Logik umfasste. Diese Art von Forschungsarbeit wird an den Schnittstellen dieser mathematischen Zweige interessante Anwendungsmöglichkeiten bieten.

Verwandte Informationen

Schlüsselwörter

Modeltheorie, mathematische Logik, algebraische Analysis, o-minimale Strukturen, MODALAN
Datensatznummer: 188571 / Zuletzt geändert am: 2016-09-14
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