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FP7

EGFLOW Ergebnis in Kürze

Project ID: 276919
Gefördert unter: FP7-PEOPLE
Land: Israel

Die riemannsche Geometrie zu Blätterungen

EU-geförderte Mathematiker haben neue Konzepte und Werkzeuge für die Untersuchung von Blätterungen entwickelt, extrinsische geometrische Flüsse, welche durch Deformationen der Metrik geblätterter Mannigfaltigkeiten induziert werden.
Die riemannsche Geometrie zu Blätterungen
Geometrische Flüsse werden als die Entwicklung einer geometrischen Struktur auf einer Mannigfaltigkeit gemäß einer Differenzialgleichung bezeichnet, die üblicherweise mit einer Krümmung assoziiert ist. Dieses bekannte mathematische Konzept beschreibt die Metrik einer riemannschen Mannigfaltigkeit, welche sich auf analoge Weise zur Wärmediffusion in der Physik deformiert, während Irregularitäten geglättet werden.

Falls diese Entwicklung von dem zweiten Fundamentaltensor der Blätterung abhängig ist, wird der geometrische Fluss auf einer geblätterten Mannigfaltigkeit als extrinsisch bezeichnet. Im Rahmen des EU-finanzierten Projekts EGFLOW (Extrinsic geometric flows on foliated manifolds) führten Mathematiker zur Untersuchung der Kodimesion-1-Blätterungen einen extrinsischen geometrischen Fluss ein.

Das EGFLOW-Team untersuchte die Geometrie einer Kodimension-1-Blätterung mit einer zeitabhängigen riemannschen Metrik. Es wurde mit Deformationen geometrischer Quantitäten begonnen, die im Zuge von Veränderungen der riemannschen Metrik entsprechend der Blätter bei der Blätterung der Mannigfaltigkeit beobachtet wurden.

Daraufhin betrachteten die Mathematiker den geometrischen Fluss der sogenannten zweiten Blätterungs-Fundamentalform. Die Entwicklung dieser extrinsischen Krümmung führte unter bestimmten Annahmen zu parabolischen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, bezüglich derer ebenfalls die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung gezeigt wurde.

Ferner wurden Anwendungsmöglichkeiten bezüglich des extrinsischen Flusses auf die Minimierung der Einstein-Hilbert-Wirkung erforscht. Dies beinhaltete ein Ersetzen der Skalarkrümmung durch eine gemischte Skalarkrümmung. Die Wirkung wurde bezüglich einer Kodimesion-1-Blätterung auf einer geschlossenen riemannschen Mannigfaltigkeit untersucht.

Der parabolische geometrische Fluss wurde erweitert, um arbiträre Kodimension-Blätterungen abzudecken. Die Geschwindigkeit des Flusses verhält sich hierbei proportional zu der Divergenz des mittleren Krümmungsvektors. Der Fluss entspricht dem Wärmefluss bei einer 1-Form, ist also das zweifache des Krümmungsvektorfelds, und ermöglicht eine eindeutige globale Lösung, welche zu einer Metrik konvergiert.

Das EGFLOW-Projekt war teilweise dem Ricci-Fluss gewidmet, einem weiteren bekannten Fluss auf dem Gebiet der Mathematik. Der partielle Ricci-Fluss wurde ebenfalls für Kodimension-1-Blätterungen sowie für arbiträre Kodimension-Blätterungen eingeführt. Es wurde insbesondere eine extrinsische Repräsentation des partiellen Ricci-Flusses auf rotierenden Flächen entwickelt.

Gleichungen zum geometrischen Fluss sind aufgrund deren Nichtlinearität schwer lösbar. EGFLOW war daher auf Sonderfälle fokussiert. Es wurden Resultate erzielt, die für Geometer von Interesse sind, welche sich auf die riemannsche Geometrie und Blätterungen spezialisiert haben.

Verwandte Informationen

Fachgebiete

Scientific Research

Schlüsselwörter

Riemannsche Geometrie, geometrischer Fluss, geblätterte Mannigfaltigkeit, zweite Fundamentalform, gemischte Skalarkrümmung, EGFLOW, Wärmefluss
Datensatznummer: 188572 / Zuletzt geändert am: 2016-09-19
Bereich: Industrielle Technologien