Servicio de Información Comunitario sobre Investigación y Desarrollo - CORDIS

Geometría de Riemann de las foliaciones

Un equipo de matemáticos financiado por la Unión Europea ha desarrollado nuevos conceptos y herramientas para el estudio de las foliaciones, los flujos geométricos extrínsecos introducidos como deformaciones de métricas en variedades foliadas.
Geometría de Riemann de las foliaciones
Se denomina flujo geométrico a la evolución de una estructura geométrica en una variedad bajo una ecuación diferencial, normalmente asociada a la curvatura. Este concepto matemático popular describe la métrica de una variedad de Riemann que se deforma de manera análoga a la difusión térmica en la física a la vez que se suavizan las irregularidades.

Si esta evolución depende del segundo tensor fundamental de la foliación, el flujo geométrico en la variedad foliada se denomina extrínseco. En el marco del proyecto financiado con fondos de la Unión Europea EGFLOW (Extrinsic geometric flows on foliated manifolds), los matemáticos introdujeron el flujo geométrico extrínseco en el estudio de las foliaciones de codimensión uno.

El equipo de EGFLOW estudió la geometría de una foliación de codimensión uno con una métrica de Riemann dependiente del tiempo. Los investigadores comenzaron con deformaciones de cantidades geométricas observadas a medida que la métrica de Riemann cambia a lo largo de las hojas de la foliación de la variedad.

A continuación, los matemáticos estudiaron el flujo geométrico de la denominada segunda forma fundamental de la foliación. La evolución de esta curvatura extrínseca proporcionó, bajo ciertas suposiciones, las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas de segundo orden, para las que también se demostró la existencia y singularidad de una solución.

Asimismo, se exploraron aplicaciones del flujo geométrico extrínseco a la minimización de la acción de Einstein-Hilbert, que consistían en la sustitución de la curvatura escalar por la curvatura escalar mixta. Se estudió la acción para la foliación de codimensión uno en una variedad de Riemann cerrada.

El flujo geométrico parabólico se amplió para cubrir foliaciones de codimensiones arbitrarias, en las que la velocidad del flujo es proporcional a la divergencia del vector de curvatura media. El flujo es equivalente al flujo de calor de una forma, concretamente el dual del campo vectorial de curvatura, y admite una única solución global que converge en una métrica.

Parte de EGFLOW se centró en el flujo de Ricci, otro flujo geométrico popular de las matemáticas. También se introdujo el flujo parcial de Ricci para una foliación de codimensión uno así como para foliaciones de codimensiones arbitrarias. En concreto, se desarrolló una representación extrínseca del flujo parcial de Ricci sobre superficies de rotación.

Las ecuaciones de flujo geométrico son difíciles de resolver debido a su no linealidad. Por tanto, EGFLOW se centró en unos casos especiales. Se obtuvieron muchos resultados de interés para geómetras especializados en la geometría de Riemann y las foliaciones.

Información relacionada

Palabras clave

Geometría de Riemann, flujo geométrico, variedad foliada, segunda forma fundamental, curvatura escalar mixta, EGFLOW, flujo de calor
Síganos en: RSS Facebook Twitter YouTube Gestionado por la Oficina de Publicaciones de la UE Arriba