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FP7

EGFLOW Résultat en bref

Project ID: 276919
Financé au titre de: FP7-PEOPLE
Pays: Israël

La géométrie riemannienne des feuilletages

Des mathématiciens financés par l'UE ont proposé de nouveaux concepts et outils pour l'étude des feuilletages, avec des flux géométriques extrinsèques introduits comme métriques des variétés feuilletées.
La géométrie riemannienne des feuilletages
Un flux géométrique est l'évolution de la structure géométrique d'une variété via une équation différentielle, en général associée à une courbure. Ce concept mathématique décrit la métrique d'une variété riemannienne qui se déforme d'une manière analogue à la diffusion de la chaleur dans un système physique, où les irrégularités s'amortissent.

Si cette évolution dépend du second tenseur fondamental du feuilletage, le flux géométrique d'une variété feuilletée est dit extrinsèque. Les mathématiciens du projet EGFLOW (Extrinsic geometric flows on foliated manifolds), financé par l'UE, ont appliqué le flux géométrique extrinsèque à l'étude des feuilletages de codimension 1.

Les chercheurs d'EGFLOW ont étudié la géométrie d'un feuilletage de codimension 1, avec une métrique riemannienne dépendant du temps. Ils ont commencé par des déformations de quantités géométriques, observées lorsque la métrique riemannienne change le long des feuilles de la variété feuilletée.

Ensuite, les mathématiciens ont étudié le flux géométrique de la seconde forme fondamentale du feuilletage. Avec certaines hypothèses, l'évolution de cette courbure extrinsèque a conduit aux équations différentielles paraboliques partielles du second ordre, et les chercheurs ont aussi montré l'existence et l'unicité d'une solution pour ces équations.

Les mathématiciens ont ensuite exploré des applications du flux géométrique extrinsèque à la minimisation de l'action d'Einstein-Hilbert, remplaçant la courbure scalaire par une courbure scalaire mixte. Ils ont étudié cette action pour un feuilletage de codimension 1, dans une variété riemannienne fermée.

Les chercheurs ont étendu le flux géométrique parabolique à des feuilletages de codimension 1, où sa vitesse est proportionnelle à la divergence du vecteur de courbure moyenne. Ce flux est équivalent au flux de chaleur de forme une, à savoir le dual du champ vectoriel de courbure, et admet une solution globale unique qui converge vers une métrique.

Les chercheurs d'EGFLOW ont consacré une partie de leurs travaux au programme de Hamilton (flux de Ricci), un autre flux géométrique bien connu des mathématiciens. Ils ont introduit le programme de Hamilton partiel pour des feuilletages de codimension 1 et quelconque, développant une représentation extrinsèque du flux partiel pour des surfaces en rotation.

Les équations de flux géométrique ne sont pas linéaires et donc difficiles à résoudre. EGFLOW s'est donc intéressé à quelques cas spéciaux. Il a obtenu de nombreux résultats, intéressants pour les spécialistes de la géométrie et des feuilletages riemanniens.

Informations connexes

Mots-clés

Géométrie riemannienne, flux géométrique, variété feuilletée, seconde forme fondamentale, courbure scalaire mixte, EGFLOW, flux de chaleur
Numéro d'enregistrement: 188572 / Dernière mise à jour le: 2016-09-19
Domaine: Technologies industrielles