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La geometria riemanniana delle foliazioni

Alcuni matematici finanziati dall’UE hanno sviluppato nuovi concetti e strumenti per lo studio delle foliazioni, i flussi geometrici estrinseci introdotti come deformazioni delle metriche su varietà foliate.
La geometria riemanniana delle foliazioni
Si dice flusso geometrico l’evoluzione di una struttura geometrica su una varietà sotto un’equazione differenziale, solitamente associata a curvatura. Questo concetto matematico popolare descrive la metrica di una varietà riemanniana che si deforma in modo analogo alla diffusione del calore in fisica mentre le irregolarità vengono smussate.

Se questa evoluzione dipende dal secondo tensore fondamentale della foliazione, il flusso geometrico su varietà foliata è detto estrinseco. All’interno del progetto EGFLOW (Extrinsic geometric flows on foliated manifolds) finanziato dall’UE, i matematici hanno introdotto il flusso geometrico estrinseco nello studio delle foliazioni a codimensione uno.

Il team EGFLOW ha studiato la geometria di una foliazione a codimensione uno con una metrica riemanniana dipendente dal tempo. Gli studiosi hanno cominciato con le deformazioni di grandezze geometriche osservate con i cambiamenti di metrica riemanniana lungo le foglie della foliazione della varietà.

Successivamente i matematici hanno esaminato il flusso geometrico della cosiddetta seconda forma fondamentale della foliazione. L’evoluzione di questa curvatura estrinseca ha prodotto, con determinate ipotesi, le seconde equazioni paraboliche alle derivate parziali, per le quali sono state anche dimostrate l’esistenza e l’unicità di una soluzione.

Inoltre gli scienziati hanno esplorato le applicazioni del flusso geometrico estrinseco alla minimizzazione dell’azione Einstein-Hilbert, coinvolgendo la sostituzione della curvatura scalare con la curvatura scalare mista. L’azione è stata studiata per la foliazione a codimensione uno su una varietà riemanniana chiusa.

Il flusso geometrico parabolico è stato esteso a foliazioni a codimensioni arbitrarie, in cui la velocità del flusso è proporzionale alla divergenza del vettore di curvatura medio. Il flusso è equivalente al flusso di calore di forma uno, cioè al duale del campo vettoriale di curvatura, e ammette una soluzione globale unica, convergente in una metrica.

Parte di EGFLOW è stata dedicata al flusso di Ricci, un altro flusso geometrico popolare in matematica. Il flusso parziale di Ricci è stato introdotto anche per la foliazione a codimensione uno e per le foliazioni a codimensione arbitraria. In particolare è stata sviluppata una rappresentazione estrinseca del flusso parziale Ricci su superfici di rotazione.

Le equazioni di flusso geometriche sono difficili da risolvere a causa della loro non linearità. Il progetto EGFLOW si è quindi concentrato su casi particolari. Molti dei risultati ottenuti sono di interesse per gli studiosi specializzati in geometria riemanniana e foliazioni.

Informazioni correlate

Keywords

Geometria riemanniana, flusso geometrico, varietà foliate, seconda forma fondamentale, curvatura scalare mista, EGFLOW, flusso di calore