Wspólnotowy Serwis Informacyjny Badan i Rozwoju - CORDIS

Geometria riemannowska foliacji

Matematycy korzystający ze środków unijnych opracowali nowe koncepcje i narzędzia umożliwiające badanie foliacji, czyli zewnętrznych potoków geometrycznych wprowadzanych jako deformacje metryk na rozmaitościach z foliacjami.
Geometria riemannowska foliacji
Potok geometryczny nazywany jest ewolucją struktury geometrycznej rozmaitości w równaniu różniczkowym, zwykle powiązanym z krzywizną. Ta popularna koncepcja matematyczna opisuje metrykę rozmaitości riemannowskiej deformującej się w sposób analogiczny do dyfuzji ciepła w fizyce, przy czym zachodzi tu wygładzenie nieregularności.

Jeżeli jego ewolucja zależy od drugiej formy podstawowej foliacji, potok geometryczny na rozmaitości z foliacją nazywany jest zewnętrznym. W ramach projektu EGFLOW (Extrinsic geometric flows on foliated manifolds), finansowanego ze środków UE, matematycy wprowadzili zewnętrzny potok geometryczny do badania foliacji o kowymiarze 1.

Zespół EGFLOW badał geometrę foliacji o kowymiarze 1 z zależną od czasu metryką riemannowską. Prace rozpoczęto od deformacji wielkości geometrycznych obserwowanych podczas zmiany metryki riemannowskiej wzdłuż liści foliacji rozmaitości.

Następnie uczeni przyjrzeli się potokowi geometrycznemu tzw. drugiej formy podstawowej foliacji. Ewolucja tej krzywizny zewnętrznej dała, przy pewnych założeniach, drugie paraboliczne cząstkowe równania różniczkowe, dla których dowiedziono też istnienia i niepowtarzalności rozwiązania.

Badano też możliwości zastosowania zewnętrznego potoku geometrycznego do minimalizacji działania Einsteina-Hilberta, polegającego na zastąpieniu krzywizny skalarnej mieszaną krzywizną skalarną. Działanie to badano w odniesieniu do foliacji z kowymiarem 1 na zamkniętej rozmaitości riemannowskiej.

Paraboliczny potok geometryczny rozszerzono, tak by objął foliacje o dowolnej liczbie kowymiarów, gdzie prędkość potoku jest proporcjonalna do rozbieżności wektora średniej krzywizny. Potok jest równoważny przepływowi ciepła 1-formy, a mianowicie podwójność pola wektorowego krzywizny, i dopuszcza jednoznaczne rozwiązanie globalne, zbiegające się w kierunku metryki.

Część projektu EGFLOW poświęcono potokowi Ricciego, innemu popularnemu potokowi geometrycznemu w matematyce. Częściowy potok Ricciego wprowadzono także do foliacji z kowymiarem 1 oraz foliacji z dowolną liczbą kowymiarów. Opracowano zewnętrzną reprezentację częściowego potoku Ricciego na powierzchniach rotacyjnych.

Równania potoków geometrycznych są trudne do rozwiązania ze względu na swoją nieliniowość. Prace prowadzone w projekcie EGFLOW koncentrowały się zatem na szczególnych przypadkach. Wiele z opisywanych ustaleń zainteresuje geometrów specjalizujących się w geometrii riemannowskiej i foliacjach.

Powiązane informacje

Słowa kluczowe

Geometria riemannowska, potok geometryczny, rozmaitość z foliacją, druga forma podstawowa, mieszana krzywizna skalarna, EGFLOW, przepływ ciepła
Numer rekordu: 188572 / Ostatnia aktualizacja: 2016-09-19
Dziedzina: Technologie przemysłowe
Śledź nas na: RSS Facebook Twitter YouTube Zarządzany przez Urząd Publikacji UE W górę