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FP7

GEODESICRAYS Resultado resumido

Project ID: 329070
Financiado con arreglo a: FP7-PEOPLE
País: Reino Unido

Regularidad en las matemáticas del espacio y el flujo

Algunas ecuaciones resultan útiles para describir tanto la geometría del espacio curvo como los flujos de fluidos. Un grupo de investigadores de la Unión Europea estudió ambas aplicaciones utilizando geometría compleja y obtuvo información nueva sobre las propiedades de las ecuaciones.
Regularidad en las matemáticas del espacio y el flujo
La ecuación geodésica en el espacio de métricas de Kähler es un ejemplo de una ecuación compleja homogénea de Monge-Ampère (HCMAE). Esta ecuación relaciona el estudio de las métricas de Kähler de curvatura escalar constante con la conjetura de Yau-Tian-Donaldson. A menudo, en estas aplicaciones, la regularidad de la solución es esencial.

Nuestro conocimiento incompleto de la regularidad de las soluciones de HCMAE es un obstáculo importante para el uso de HCMAE con éxito en geometría compleja. Existe una conexión evidente entre ciertas geodésicas de métricas de Kähler (esto es, soluciones de la HCMAE) y el flujo de Hele-Shaw de fluidos entre dos placas. El objetivo global del proyecto GEODESICRAYS (From geodesic rays in spaces of Kähler metrics to the Hele-Shaw flow) fue utilizar esta relación para desarrollar la teoría de la regularidad para el flujo de Hele-Shaw y las HCMAE.

El proyecto estudió el proceso por el cual surgen singularidades en las soluciones de la HCMAE como las geodésicas de las métricas de Kähle. Se demostró que existe una dualidad entre los flujos de Hele-Shaw y ciertas soluciones de la HCMAE en el producto cartesiano de la esfera de Riemann y el disco unitario. También se mostró utilizando la dualidad de que los discos armónicos de las soluciones de la HCMAE se corresponden exactamente con los dominios de Hele-Shaw conectados de forma simple. Esto permitió construir ejemplos cuyos discos armónicos estaban muy alejados de foliar el espacio, lo cual contradice los resultados anteriores de Chen y Tian.

La abundancia de discos armónicos es una forma de medir la regularidad de una solución a la HCMAE. Otra forma es considerar el conjunto en el cual la solución no se puede diferenciar dos veces. Utilizando los resultados de regularidad a corto plazo anteriores, fue posible construir soluciones que no se pueden diferenciar dos veces en conjuntos específicos como un segmento de curva.

El efecto principal del proyecto ha sido la aportación a la teoría de la regularidad para las HCMAE. Los resultados demuestran que la teoría anterior de la regularidad parcial de Chen y Tian tiene un fallo fundamental, lo cual cambia radicalmente el conocimiento de las HCMAE.

Información relacionada

Palabras clave

Geometría compleja, métricas de Kähler, ecuación de Monge-Ampère compleja homogénea, flujo de Hele-Shaw, conjetura de Yau-Tian-Donaldson, producto cartesiano, esfera de Riemann
Número de registro: 188594 / Última actualización el: 2016-09-19
Dominio: Tecnologías industriales