Wspólnotowy Serwis Informacyjny Badan i Rozwoju - CORDIS

FP7

GEODESICRAYS Wynik w skrócie

Project ID: 329070
Źródło dofinansowania: FP7-PEOPLE
Kraj: Zjednoczone Królestwo

Regularność w matematyce przestrzeni i przepływu

Niektóre równania przydają się do opisu zarówno geometrii zakrzywionej przestrzeni, jak i przepływu płynu. Naukowcy z UE badali oba zastosowania przy pomocy geometrii zespolonej i uzyskali nowe informacje na temat właściwości takich równań.
Regularność w matematyce przestrzeni i przepływu
Zespolone równania Monge'a-Ampère'a pełnią kluczową rolę w geometrii zespolonej. Geodezyjne równanie przestrzeni metryki Kählera jest przykładem jednorodnego zespolonego równania Monge'a-Ampère'a (HCMAE). Równanie to łączy badanie stałej krzywizny skalarnej metryki Kählera z hipotezą Yau-Tiana-Donaldsona. W takich zastosowaniach istotne znaczenie ma często regularność rozwiązania.

Niepełna wiedza na temat regularności rozwiązań równań HCMAE jest poważną przeszkodą w wykorzystaniu HCMAE w geometrii zespolonej. Istnieje uderzające podobieństwo między niektórymi geodetykami metryki Kählera (tj. rozwiązania HCMAE) a przepływem Hele-Shawa płynów między dwiema płytami. Ogólnym celem projektu GEODESICRAYS (From geodesic rays in spaces of Kahler metrics to the Hele-Shaw flow) było wykorzystanie tej zależności do opracowania teorii regularności dotyczącej przepływu Hele-Shawa oraz równań HCMAE.

W projekcie badano proces powstawania osobliwości w rozwiązaniach równań HCMAE, takich jak geodetyka metryk Kählera. Wykazano, że istnieje dwoistość między przepływami Hele-Shawa a pewnymi rozwiązaniami równań HCMAE w iloczynie kartezjańskim sfery Riemanna i kole jednostkowym. Ponadto przy pomocy dwoistości dowiedziono, że koła harmoniczne rozwiązań równań HCMAE odpowiadają dokładnie połączonym w sposób prosty dziedzinom Hele-Shawa. Pozwoliło to na przygotowanie przykładów, których koła harmoniczne były bardzo oddalone od foliacji przestrzeni, co podważa wcześniejsze wyniki Chena i Tiana.

Ilość kół harmonicznych jest jednym ze sposobów na zmierzenie regularności rozwiązania równania HCMAE. Inny polega na uwzględnieniu zbioru, w którym rozwiązanie nie jest dwukrotnie różniczkowalne. Dzięki zastosowaniu wcześniejszych wyników dotyczących regularności o krótkim czasie, udało się skonstruować rozwiązania, które nie są dwukrotnie różniczkowalne w określonych zbiorach, takich jak odcinek krzywej.

Najważniejszym osiągnięciem projektu jest wniesienie wkładu w teorię regularności równań HCMAE. Rezultaty te dowodzą, że wcześniejsza teoria regularności autorstwa Chena i Tiana jest błędna. Oznacza to radykalnie odmienne spojrzenie na równania HCMAE.

Powiązane informacje

Słowa kluczowe

Geometria zespolona, metryka Kählera, jednorodne zespolone równanie Monge'a-Ampère'a, przepływ Hele-Shawa, hipoteza Yau-Tiana-Donaldsona, iloczyn kartezjański, sfera Riemanna
Numer rekordu: 188594 / Ostatnia aktualizacja: 2016-09-14
Śledź nas na: RSS Facebook Twitter YouTube Zarządzany przez Urząd Publikacji UE W górę