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Las matemáticas de los procesos con etapas rápidas y lentas

Los sistemas lentos-rápidos son habituales en ingeniería, química y biología. Las matemáticas son complicadas y las simplificaciones genéricas pueden resultar muy útiles.
Las matemáticas de los procesos con etapas rápidas y lentas
El proyecto SINGPERTDYNSYS (Singularly perturbed dynamical systems) se centró en los sistemas llamados perturbados de forma singular o sistemas dinámicos lentos-rápidos, como las velocidades de reacción en una reacción química multimolecular. A menudo, estos sistemas tienen variables dinámicas que evolucionan en escalas de tiempo distintas.

El primer objetivo del proyecto fue comprender los patrones de oscilación. Se avanzó en el conocimiento de los mecanismos de los modelos de reacción autocatalíticos, lo cual debería ayudar a los investigadores a resolver un problema abierto desde hace tiempo en el contacto de los modelos lento-rápido para la reacción peroxidasa-oxidasa. Esto también es aplicable a la relación mutua entre perturbaciones estocásticas y patrones de oscilación.

Se estudió el papel que desempeñan los parámetros pequeños y la relación entre los parámetros. En el caso estocástico, los resultados nuevos dieron lugar a numerosas aplicaciones inesperadas en la teoría nueva emergente de los signos tempranos de advertencia.

Un segundo objetivo del proyecto, relacionado con el primero, fue conocer mejor los problemas multiparamétricos utilizando una técnica matemática de desingularización geométrica (también llamado el método de expansión). Este método permite utilizar la teoría lineal en lugar de métodos no lineales. Se realizaron avances específicos en problemas con más dimensiones y para conocer mejor la interrelación entre el ruido pequeño y las separaciones pequeñas en la escala temporal.

El último objetivo clave del proyecto era ampliar las ideas de las ecuaciones diferenciales ordinarias (esto es, problemas puramente temporales) a las ecuaciones diferenciales parciales (esto es, por lo general, problemas en el espacio-tiempo) en casos especiales. Esto se consiguió mediante el desarrollo de herramientas numéricas eficientes para sistemas de reacción-difusión perturbados singularmente y algoritmos nuevos para problemas con ruido pequeño. El proyecto consiguió aplicar algunas ideas a las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas que presentan fenómenos de propagación de ondas, además de para ciertos tipos de ecuaciones no locales con parámetros pequeños.

Se han descubierto nuevas herramientas y nuevos métodos matemáticos ampliamente aplicables en las ciencias naturales y la ingeniería y ya se han proporcionado varias aplicaciones directas en colaboraciones interdisciplinarias.

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Palabras clave

Sistema lento-rápido, sistema perturbado de forma singular, patrón oscilatorio, técnica de desingularización, método de amplificación, ecuación diferencial
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