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Die gleichen Probleme, verschiedene Techniken 

Der analytischen Geometrie mangelt es an vielen Werkzeugen der algebraischen Geometrie. Dennoch konnten EU-finanzierte Wissenschaftler eine einheitliche Beschreibung für viele gemeinsame Objekte entwickeln. 
Die gleichen Probleme, verschiedene Techniken 
In der analytischen Geometrie scheint es für die Behandlung von Räumen von unendlichen Dimensionen keine offensichtliche Herangehensweise zu geben. Auf der anderen Seite könnten viele unendlich dimensionale Objekte aus der algebraischen Geometrie als Konstruktionen mit endlichen Dimensionen in der analytischen Geometrie interpretiert werden.

Diese Beobachtung war der Ausgangspunkt des EU-geförderten Projekts STACKSCATS (Stacks and categorification). Im Laufe des dreijährigen Projekts arbeiteten die Wissenschaftler an Möglichkeiten, die algebraische Geometrie zu verwenden, um Räume ohne Grenzen sowie Räume mit einer Teilgrenze besser beschreiben zu können.

Der Schwerpunkt lag auf der Kategorie der kompletten bornologischen Vektorräume des konvexen Typs über einem vollständigen, nicht-trivial bewerteten Feld. Eine Verallgemeinerung dieser Kategorie sind die sogenannten Ind-Banach-Module über einem normierten Ring. Beispiele dafür sind die archimedischen Ringe und der Novikov-Ring.

Das wichtigste technische Werkzeug, das die Wissenschaftler verwendeten, war die Version der abgeleiteten Kategorie, die von einem quasi-abelschen Setting stammt. Sie zeigten, wie bekannte Begriffe in der komplexen und der analytischen Geometrie wieder hergestellt werden. Außerdem erweiterten sie die Ergebnisse auf die Stein- und quasi Stein-Settings.

Durch Verwendung der algebraischen Geometrie führte STACKSCATS zu einer genaueren Beschreibung von Räumen ohne Grenzen und Räumen mit einer Teilgrenze. In beiden Fällen konnten die Morphismen zwischen ihnen, bezeichnet als offene Immersionen, unter bestimmten Bedingungen charakterisiert werden.

Auch wenn es nicht genau den ursprünglichen Zielen des Projekts entsprach, war das Ergebnis ein besseres Verständnis dieser Bedingungen in den Fällen mit Relevanz für die analytische Geometrie. Die innovative Arbeit des Projekts wurde in drei Artikeln in angesehenen Peer-Review-Zeitschriften beschrieben.

Verwandte Informationen

Fachgebiete

Scientific Research

Schlüsselwörter

Analytische Geometrie, algebraische Geometrie, STACKSCATS, Vektorräume, Morphismus 
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