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Des outils mathématiques et informatiques pour mieux gérer les grands réseaux

Ces dernières décennies ont vu se développer les grands réseaux (représentés par des graphes) dans une large gamme de secteurs comme les sciences sociales, la neurologie, les réseaux et la biologie moléculaire. Un projet de l'UE a relevé le défi d'obtenir des informations sur de tels réseaux.
Des outils mathématiques et informatiques pour mieux gérer les grands réseaux
Pour gérer de grands réseaux, l'échantillonnage est la méthode la plus courante. Il révèle les statistiques locales d'un graphe creux, la distribution des r-balls pour toute valeur de r. Une propriété d'un graphe est forçable s'il existe une statistique locale telle que tout graphe disposant de cette statistique a cette propriété.

Dans ce contexte, le projet BAG (Benjamini-Schramm approximation of groups and graphings), financé par l'UE, s'est attaqué aux deux questions fondamentales concernant tous les domaines pour lesquels les grands graphes sont devenus importants. Quelles sont les propriétés forçables d'un graphe? Étant donnée une propriété forçable de coloriage d'un graphe (un graphing), peut-on trouver efficacement un coloriage propre?

Le principal résultat du projet BAG a été de démontrer la conjecture de Bowen sur des groupes de Kazhdan. Ceci montre en particulier que les propriétés d'expansion de grands réseaux peuvent être imposées par des conditions locales. C'est un outil prometteur pour résoudre le principal problème de ce domaine, à savoir la construction d'un groupe non approximable. Ce résultat a plusieurs implications, en théorie ergodique, en topologie et en théorie des graphes. En outre, il réfute les théories de Michael H. Freedman, Matthew B. Hastings, Assaf Naor et L. M. Lovasz.

Les chercheurs ont appliqué une approche analytique de la célèbre conjecture de dichotomie pour les problèmes de satisfaction des contraintes. Ils ont apporté un nouvel algorithme déterministe pour l'un des problèmes les plus fondamentaux de la géométrie, celui du vecteur approchant le plus proche. Leur méthode s'est basée sur une sparsification aléatoire dont le caractère aléatoire peut être éliminé à l'aide de concepts sur le caractère pseudo-aléatoire.

Un partenaire du projet a amélioré la solution de Gaboriau-Lyons pour le problème dynamique de von Neumann sur des groupes non moyennables. Il a aussi résolu le problème de Nicolas Monod sur les sous-groupes aléatoires géométriques.

Enfin, l'équipe de BAG a démontré qu'il est possible d'estimer (localement) le logarithme normalisé du nombre de correspondances dans un graphe.

Les travaux conduits lors du projet BAG ont montré comment mieux gérer des graphes et des réseaux de grande taille, et contribué à s'attaquer à certains des principaux problèmes rencontrés dans les divers domaines.

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Thèmes

Life Sciences

Mots-clés

Réseaux, graphes, BAG, Benjamini-Schramm, graphings