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Ein Schritt in Richtung reeller Zahlen

Das Konzept reeller Zahlen ist viel weiter gefasst als das doppelt genauer Zahlen, das für deren Implementierung auf Computern verwendet wird. EU-finanzierte Mathematiker kombinierten die Korrektheit mathematischer Theorien mit der Geschwindigkeit von Hardware, um „exakte“ reelle Zahlen zu implementieren.
Ein Schritt in Richtung reeller Zahlen
Computer werden großflächig für Berechnungen reeller Zahlen eingesetzt. Sie werten reelle Funktionen aus, bestimmen Integrale und lösen Differentialgleichungen. Die Menge reeller Zahlen ist jedoch nicht zählbar. Jede Implementierung muss sich von der Implementierung zählbarer Mengen natürlicher oder sogar rationaler Zahlen unterscheiden.

Im Zuge des Projekts COMPUTAL (Computable analysis) bildete die Typ-2 Theorie der Effektivität (Type-2-Theory Of Effectivity, TTE) den Rahmen für reelle Zahlen. Nach diesem Ansatz kann eine reelle Zahl als eine Sequenz rationaler Zahlen mit einer bekannten Konvergenzgeschwindigkeit abgebildet werden. Diese Konvergenz wird üblicherweise als Einschränkung ausgedrückt.

Diesem Ansatz fehlen jedoch die Möglichkeiten der imperativen Programmierung, welche die Implementierung nummerischer Algorithmen vereinfacht. Aus diesem Grund orientierten sich die Mathematiker an dem interaktiven Real-RAM-Paket (iRRAM), um eine Implementierung zu erreichen, die exakt, schnell und erwiesenermaßen korrekt ist.

Das iRRAM-Paket ist als „C++“-Implementierung von reellen Zahlen bekannt. Seine Fähigkeiten reichen von der gewöhnlichen Arithmetik über Trigonometriefunktionen bis hin zur linearen Algebra. Dieses Softwarepaket wurde seit seiner ursprünglichen Einführung kontinuierlich verbessert.

Das COMPUTAL-Team stellte eine wichtige Erweiterung zu der aktuellen Version bereit. iRRAM wurde ergänzt, um eine rechnerische Handhabung schwer lösbarer Probleme in hybriden Systemen zu gewährleisten. Die Mathematiker fokussierten sich vor allem auf infinite Berechnungen und versuchten, zu messen, wie viele Schritte erforderlich sind, um eine Approximation mit einer bestimmten Präzision zu berechnen.

Schließlich wurde probiert, die deskriptive Mengenlehre gegenüber dem TTE-Ansatz auf eine größere Klasse von Räumen auszuweiten, die bei mathematischen Untersuchungen im Bereich der Programmsemantik Anwendung finden. Die neu eingeführte Klasse sogenannter Quasi-polnischer Räume wurde mit einer Silbermedaille des Gödel-Preises für Forschung bedacht.

COMPUTAL legte ein solides Fundament für die Entwicklung von Software, die erwiesenermaßen mit infiniten Daten wie reellen Zahlen korrekt funktioniert. Zu den vielen bemerkenswerten Resultaten zählen unter anderem neue Datenabbildungen reeller Zahlen und die Anwendung logischer Grundsätze im Bereich der imperativen Programmierung.

Verwandte Informationen

Fachgebiete

Scientific Research

Schlüsselwörter

Reelle Zahlen, IEEE-754, iRRAM, Taylor-Modelle
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