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Hacia los números reales exactos

El concepto de números reales es mucho más amplio que el de los números de doble precisión que se utilizan para implementarlos en ordenadores. Un grupo de matemáticos financiado por la Unión Europea combinó la corrección de las teorías matemáticas con la velocidad del hardware, con el fin de implementar números reales «exactos».
Hacia los números reales exactos
Los ordenadores se utilizan de forma generalizada para realizar cálculos con números reales. Calculan funciones reales, determinan integrales y resuelven ecuaciones diferenciales. Sin embargo, el conjunto de los números reales no es contable. Cualquier implementación debe ser distinta de la de conjuntos contables de números naturales e incluso racionales.

En el marco del proyecto COMPUTAL (Computable analysis), la base teórica que se utilizó para los números reales fue la teoría de la efectividad (TTE) de tipo 2. Según este enfoque, un número real se puede representar mediante una secuencia de números racionales con una tasa de convergencia conocida. Por lo general esta convergencia se expresa como una restricción.

Sin embargo, este enfoque carece de las capacidades de la programación imperativa, que facilitan la implementación de los algoritmos numéricos. Por ello, los matemáticos se basaron en Real-RAM interactivo (iRRAM) con el fin de disponer de una implementación exacta y demostradamente correcta.

iRRAM es una implementación conocida de los números reales en C++. Sus capacidades van desde la aritmética ordinaria hasta las funciones trigonométricas y el álgebra lineal. Desde su introducción, este paquete de software se ha mejorado continuamente.

El equipo de COMPUTAL incorporó una extensión importante a la versión actual, de modo que iRRAM permitiese el tratamiento computacional de problemas difíciles de resolver en sistemas híbridos. En particular, los matemáticos se centraron en los cálculos infinitos y trataron de medir cuántos pasos son necesarios para calcular una aproximación con una precisión determinada.

Finalmente, trataron de ampliar la teoría descriptiva de conjuntos a una clase de espacios que se utiliza de forma más amplia en estudios matemáticos de semántica de programas que el enfoque de la TTE. La nueva clase introducida, de los llamados espacios cuasipolacos, recibió la medalla de plata en los Premios Gödel de investigación.

COMPUTAL estableció una base sólida para desarrollar software que se ha demostrado que funciona correctamente con datos infinitos como los números reales. Los numerosos resultados destacables incluyen nuevas representaciones de datos para los números reales y la aplicación de los principios lógicos a la programación imperativa.

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Palabras clave

Números reales, IEEE-754, iRRAM, modelos de Taylor
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