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Sur la voie de nombres réels exacts

Le concept de nombres réels est beaucoup plus vaste que celui des nombres en double précision, qui sont utilisés sur ordinateur. Des mathématiciens financés par l'UE ont combiné la justesse des théories mathématiques à la vitesse du matériel pour mettre en œuvre des nombres réels «exacts».
Sur la voie de nombres réels exacts
Les ordinateurs sont couramment utilisés pour les calculs de nombres réels. Ils évaluent les fonctions réelles, déterminent des intégrales et résolvent des équations différentielles. L'ensemble des nombres réels n'est toutefois pas dénombrable. Toute mise en œuvre doit être différente de l'implémentation des ensembles dénombrables de nombres naturels ou même de nombres rationnels.

Dans le cadre du projet COMPUTAL (Computable analysis), le contexte théorique utilisé pour les nombres réels était la théorie de l'effectivité de type 2 (TTE). Selon cette approche, un nombre réel peut être représenté comme une séquence de nombres rationnels avec un taux de convergence connu. Généralement, cette convergence est exprimée en tant que contrainte.

Toutefois, cette approche est dépourvue des capacités de programmation impérative qui facilitent la mise en œuvre d'algorithmes numériques. C'est la raison pour laquelle des mathématiciens se sont appuyés sur le package interactif Real-RAM interactive (iRRAM) pour obtenir une mise en œuvre exacte, rapide et prouvée comme correcte.

L'iRRAM est connue comme étant une implémentation C ++ des nombres réels. Ses capacités vont de l'arithmétique courante sur des fonctions trigonométriques à l'algèbre linéaire. Depuis son introduction initiale, ce logiciel a sans cesse été amélioré.

L'équipe de COMPUTAL a mis au point une importante extension de la version actuelle d'iRRAM dans le but d'autoriser le traitement par informatique des problèmes difficiles à résoudre avec les systèmes hybrides. Les mathématiciens ont en particulier centré leurs efforts sur des calculs infinis et essayé de déterminer combien d'étapes sont nécessaires pour calculer une approximation d'une précision donnée.

Enfin, ils ont tenté d'étendre la théorie descriptive des ensembles à une classe plus large d'espaces utilisés dans les études mathématiques de la sémantique de programmation, pour élargir les possibilités par rapport à l'approche TTE. La médaille d'argent du Prix de recherche Gödel a été décernée à la nouvelle classe d'espaces quasi-polonais.

Le projet COMPUTAL a posé les bases solides nécessaires au développement d'un logiciel dont il a été prouvé qu'il fonctionnait correctement avec des données infinies telles que les nombres réels. Parmi les nombreux résultats notables obtenus, on peut noter de nouvelles représentations de données des nombres réels et l'application de principes logiques en programmation impérative.

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Mots-clés

Nombres réels, IEEE-754, iRRAM, modèles de Taylor