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Les mathématiques des symétries quantiques

Des progrès récents dans la théorie quantique se traduisent par l'explosion des types de quantisation. Des scientifiques financés par l'UE se sont intéressés à l'un de ces types, la quantisation géométrique.
Les mathématiques des symétries quantiques
En mécanique classique, la géométrie est principalement différentielle et concerne des variations de dimension finie, des fibrés et des groupes de Lie. Son importance découle de la possibilité de gérer des objets définis de façon invariante. En revanche, le langage mathématique standard de la théorie quantique diffère depuis longtemps de la géométrie.

Ces dernières années ont vu l'introduction de nouvelles idées dans la théorie quantique, faisant appel à des techniques géométriques sophistiquées basées sur l'algèbre, la géométrie et la topologie. Dans leur majorité, les modèles quantiques viennent de la quantisation de systèmes classiques, dont ils héritent les propriétés géométriques.

Le projet FGQ (The future of geometric quantisation), financé par l'UE, voulait généraliser la façon dont la quantisation géométrique relie les symétries quantiques et classiques. Les chercheurs voulaient démontrer que la quantisation s'échange avec la réduction pour des systèmes avec des espaces de phases non compacts et des groupes de symétrie.

L'élimination de l'hypothèse de compacité a posé de sérieux problèmes mathématiques. En effet, l'indice d'un opérateur de Dirac sur une variété non compacte n'est plus bien défini, il faut dont travailler avec la théorie de représentation d'un groupe non compact, bien plus complexe. Une solution a été de remplacer les représentations par les classes correspondantes de la K-théorie de l'algèbre C* pour le groupe de symétrie correspondant.

Les chercheurs du projet FGQ ont élargi des résultats précédents vers des classes de la K-théorie pour des représentations générales. Il s'agissait de représentations de groupes semi-simples, complexes. En outre, ils ont obtenu des résultats explicites pour des représentations lorsque l'espace des orbites de l'action de groupe n'est pas compact.

Le principe d'échange de la quantisation avec la réduction a été généralisé aux actions pour des groupes non compacts sur des variétés symplectiques avec des espaces d'orbites non compacts, par exemple l'action d'un groupe de Lie non compact sur son fibré cotangent. En outre, la plupart des résultats autorisaient des espaces réduits singuliers.

Parmi les résultats majeurs du projet FGQ, citons la généralisation du principe de réduction depuis des variétés symplectiques non-compactes vers des variétés spinC non-compactes. Les premières étapes vers une quantisation géométrique non-compacte ont été franchies via l'intégration de la géométrie symplectique et de la théorie de la représentation.

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Mots-clés

Symétrie quantique, quantisation géométrique, groupe de Lie, FGQ, K-théorie