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La généralisation d'algèbres vers un nombre infini de dimensions

Beaucoup de questions restent encore en suspens concernant la structure des algèbres de Kac-Moody, qui généralisent des algèbres de Lie vers un nombre infini de dimensions. Un projet de recherche de l'UE a contribué à mettre en relation leurs propriétés topologiques et analytiques.
La généralisation d'algèbres vers un nombre infini de dimensions
Les algèbres de Kac-Moody ont été introduites dans les années 60, indépendamment par Victor Kac et Robert Moody, pour généraliser les algèbres de Lie à nombre fini de dimensions. Ces dernières années, cette théorie a été à ce point développée dans diverses directions, qu'elle est devenue un outil standard en mathématiques.

Le projet KMLIEGROUPS (Infinite-dimensional Lie theory and Kac-Moody groups), financé par l'UE, ciblait les groupes de Kac-Moody. La théorie de la structure des algèbres de Kac-Moody a été développée en analogie totale avec la théorie classique, aussi ces groupes sont des analogues de groupes de Lie, pour un nombre infini de dimensions.

Les chercheurs de KMLIEGROUPS ont étudié les groupes de Kac-Moody en appliquant une perspective analytique. Ils ont conduit une analyse détaillée de représentations d'énergie positive de groupes et d'algèbres de Lie, qui généralisent à un rang infini des groupes et des algèbres de Kac-Moody.

Les mathématiciens ont isolé les représentations irréductibles d'énergie positive du produit semi-direct de toute action continue de groupes additifs de nombres réels sur des groupes de Lie. Ils les ont considérées comme un sous-ensemble des classes d'équivalence de représentations unitaires irréductibles de chaque groupe de Lie.

Les chercheurs ont explicité ce sous-ensemble pour des représentations de poids maximal d'un groupe de Hilbert-Lie ou une affiliation d'un tel groupe. Ces algèbres de Lie sont des généralisations naturelles vers un rang infini de groupes affins de Kac-Moody. Le projet KMLIEGROUPS a aussi étudié les groupes maximaux de Kac-Moody sur des champs infinis.

Enfin, les chercheurs ont examiné l'action d'un groupe de Kac-Moody de rang 2 (maximal) sur la limite de sa construction T. Ils ont montré que le groupe agit de manière 2-transitive sur la limite de T, et les sous-groupes fixant un point sont primitifs par rapport au reste. Cette analyse détaillée représente une étape importante dans la compréhension des sous-groupes localement normaux.

Le projet KMLIEGROUPS s'est traduit par de nouvelles idées sur la correspondance entre un groupe de Kac-Moody et son algèbre, avec des théorèmes sur les morphismes entre algèbres, susceptibles d'être transférés aux groupes correspondants. Jusqu'ici et au contraire de la théorie pour un nombre fini de dimensions, on comprenait très mal la correspondance de Lie entre un groupe de Kac-Moody et son algèbre.

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Mots-clés

Algèbres de Kac-Moody, algèbres de Lie, mathématiques, KMLIEGROUPS, groupes de Lie