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Estructuras no conmutativas en física cuántica

La revolución cuántica en la física ha inspirado nuevos caminos de investigación en matemáticas, ya que ha introducido nuevos tipos de estructuras no conmutativas. Un grupo de matemáticos financiado por la Unión Europea ha establecido recientemente las extensiones de las C*-álgebras.
Estructuras no conmutativas en física cuántica
A menudo, en física cuántica, los científicos empiezan por elegir observables clásicos y escribir fórmulas que implican que estos observables no son conmutables. Con este proceso, definen un álgebra que, por lo general, se llama «álgebra de observables». Las C*-álgebras son una forma de mejorar la precisión de los resultados de este proceso.

Por ejemplo, algunas teorías cuánticas permiten distintos estados de vacío. Cada vacío proporciona una representación distinta de la C*-álgebra de observables como operadores de un espacio de Hilbert. En otras palabras, cada estado de vacío reside en un espacio de Hilbert diverso.

A pesar de los numerosos logros de las C*-álgebras, los físicos necesitan conocer mejor sus numerosas representaciones. En el proyecto OPERADYNADUAL (Operator algebras and single operators via dynamical properties of dual objects), financiado por la Unión Europea, los matemáticos han construido álgebras de operadores a partir de datos dinámicos.

El equipo desarrolló un nuevo lenguaje matemático de las llamadas C*-precategorías, lo cual dio lugar a construcciones generales que extienden las construcciones de este tipo con mayor éxito. Esto incluye las álgebras de Cuntz-Pimser y Nica-Toeplitz asociadas con C*-correspondencias.

Las C*-correspondencias con álgebras conmutativas representan grafos, lo cual abre el camino de un estudio detallado de las C*-álgebras correspondientes. En particular, el desarrollo de una teoría de grafos duales a las C*-correspondencias con álgebras no conmutativas fue uno de los principales resultados del proyecto.

Además, el equipo de OPERADYNADUAL introdujo productos cruzados de una C*-álgebra utilizando un mapa totalmente positivo en relación con un ideal en la C*-álgebra. Cuando este último es conmutativo, estas C*-álgebras incluidas van asociadas a operadores y relaciones topológicas.

Se espera que las nuevas construcciones matemáticas abran nuevas líneas de investigación. Además, estos métodos de análisis innovadores de nuevo desarrollo tendrán un gran impacto y también una amplia gama de posibles aplicaciones más allá de la teoría de las álgebras de operadores y la física cuántica.

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Palabras clave

Estructura no conmutativa, física cuántica, C*-álgebra, OPERADYNADUAL, álgebra de operadores
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