Méthodes probabilistes en analyse combinatoire L'analyse combinatoire probabiliste est un domaine relativement nouveau des mathématiques, qui vise à résoudre des problèmes d'analyse combinatoire. Des mathématiciens financés par l'UE se sont attaqués à de nouveaux problèmes difficiles, apparus lors de la résolution de problèmes anciens. Technologies industrielles © Shutterstock L'analyse combinatoire externe était la principale raison d'introduire ces méthodes probabilistes, fortement influencée par les mathématiciens hongrois Paul Erdös et Alfred Rényi. Dans ce domaine, il est souvent nécessaire de générer des objets discrets, comme des graphes dont les propriétés semblent contradictoires. L'idée novatrice qui a lancé l'analyse combinatoire probabiliste a été d'imaginer qu'il puisse exister une expérience aléatoire dont le résultat probable est l'objet voulu. La méthode probabiliste consiste justement à produire des objets discrets dont les propriétés sont connues. Aujourd'hui, la méthode probabiliste est devenue un outil puissant, qui va bien au-delà de la combinatoire externe. Les mathématiciens du projet PROBCOMB (Sparse discrete structures) en ont découvert diverses applications, par exemple en théorie des graphes externes et en théorie additive ou combinatoire des nombres. L'équipe de PROBCOMB a étudié les propriétés de structures combinatoires ne contenant aucune duplication d'une petite structure donnée. Ces travaux ont conduit à d'importants résultats, comme la détermination du nombre maximal de graphes à n sommets et sans triangle. Paul Erdös a aussi soulevé la question du nombre maximal de sous-ensembles d'entiers exempts de sommes. Cette question a une longue histoire. En considérant tous les sous-ensembles d'un ensemble maximal donné sans somme, les chercheurs ont pu déterminer la borne inférieure de ces ensembles, mais aussi la borne supérieure. Les mathématiciens ont utilisé la méthode des algèbres de drapeaux pour résoudre un vieux problème posé par Erdös et Vera T. celui du coloriage des arêtes des graphes à n sommets. Cette méthode a été proposée pour traiter de manière uniforme toutes les catégories de structures combinatoires. Les algèbres de drapeaux peuvent ainsi servir pour des structures possédant une propriété héréditaire, à savoir que tout sous-ensemble de leurs sommets correspond à une autre structure du même groupe. Si n est une puissance de 5, l'équipe de PROBCOMB a démontré que le seul graphe à n sommets qui maximise le nombre de cycles induits de cinq est une explosion itérée d'un cycle de cinq. PROBCOMB a conduit une étude complète de plusieurs questions en suspens de l'analyse combinatoire, soulevant au passage de nouveaux problèmes et ouvrant de nouvelles directions de recherche. Mots‑clés Méthodes probabilistes, analyse combinatoire, graphes, PROBCOMB, structures discrètes, algèbres de drapeaux
