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Low-regularity and high oscillations: numerical analysis and computation of dispersive evolution equations

Description du projet

Faible régularité et fortes oscillations: le calcul des équations dispersives (LAHACODE)

Les équations aux dérivées partielles (EDP) jouent un rôle central en mathématiques, nous permettant de décrire des phénomènes physiques allant des atomes ultra-froids à la matière ultra-chaude, des algorithmes d’apprentissage aux fluides circulant dans le cerveau humain. Mais pour en comprendre la nature, il importe de mieux appréhender leur comportement qualitatif et de pouvoir calculer de manière fiable leur approximation numérique. Si les problèmes linéaires et les solutions douces sont aujourd’hui bien compris, une description fiable des phénomènes «non doux» demeure un problème ouvert et difficile à résoudre. L’ambition globale du projet LAHACODE, financé par le CER, est de franchir une étape clé vers la suppression de cette lacune en intégrant profondément la structure sous-jacente des résonances dans la discrétisation numérique. Cela nous permettra de relier la discrétisation dimensionnelle finie à des résultats d’existence puissants pour les EDP non linéaires à faible régularité.

Objectif

Partial differential equations (PDEs) play a central role in mathematics, allowing us to describe physical phenomena ranging from ultra-cold atoms (Bose–Einstein condensation) up to ultra-hot matter (nuclear fusion), from learning algorithms to fluids in the human brain. To understand nature we have to understand their qualitative behavior: existence and long time behavior of solutions, their geometric and dynamical properties – as well as to compute reliably their numerical solution. While linear problems and smooth solutions are nowadays well understood, a reliable description of ‘non-smooth’ phenomena remains one of the most challenging open problems in computational mathematics since the underlying PDEs have very complicated solutions exhibiting high oscillations and loss of regularity. This leads to huge errors, massive computational costs and ultimately provokes the failure of classical schemes. Nevertheless, ‘non-smooth phenomena’ play a fundamental role in modern physical modeling (e.g. blow-up phenomena, turbulences, high frequencies, low dispersion limits, etc.) which makes it an essential task to develop suitable numerical schemes. The overall ambition of LAHACODE is to make a crucial step towards closing this gap – addressing the fundamental question: How and to what extent can we reproduce the qualitative behavior of differential equations in a finite (discretized) world? LAHACODE is situated at the challenging frontiers of analysis and numerics. The main objective is to develop a novel class of numerical schemes for nonlinear PDEs with strong geometric structure at low regularity and high oscillations. The key idea in the construction of the new schemes is to tackle and deeply embed the underlying structure of resonances in the numerical discretizations. As in the continuous case, these terms are central to structure preservation, and provide the new schemes with remarkable properties – allowing reliable approximations where classical schemes fail.

Régime de financement

ERC-STG - Starting Grant

Institution d’accueil

SORBONNE UNIVERSITE
Contribution nette de l'UE
€ 1 499 905,00
Adresse
21 RUE DE L'ECOLE DE MEDECINE
75006 Paris
France

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Région
Ile-de-France Ile-de-France Paris
Type d’activité
Higher or Secondary Education Establishments
Liens
Coût total
€ 1 499 905,00

Bénéficiaires (2)