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Fourier Analysis For/And Partial Differential Equations

Projektbeschreibung

Harmonische Analyse an der Schnittstelle der Fourier-Analyse und partiellen Differentialgleichungen

Oberschwingungen sind zeitliche Schwingungen eines Signals mit einer Frequenz, die ein positives ganzzahliges Vielfaches einer sogenannten Grundfrequenz ist. Beispiele für einfache harmonische Bewegungen sind ein schwingendes Pendel und eine schwingende Gitarrensaite oder ein Trommelfell. Bei harmonischen Analysen wird die harmonische Bewegung zerlegt und die einzelnen Oberschwingungen, die zusammen die endgültige Wellenform ergeben, werden bestimmt. Die Fourier-Analyse, die eine komplexe Welle als Summe von Sinus und Kosinus ausdrückt, und partielle Differentialgleichungen sind wesentliche Hilfsmittel bei der Untersuchung der Oberschwingungen. Das vom Europäischen Forschungsrat finanzierte Projekt FAnFArE wird Probleme an der Schnittstelle von Fourier-Analyse und partiellen Differentialgleichungen erforschten und dabei Theorien zu Frequenzen, Schwingungen und Raum-Zeit-Resonanzen systematisch weiterentwickeln.

Ziel

"This project aims to develop the field of Harmonic Analysis, and more precisely to study problems at the interface between Fourier Analysis and PDEs (and also some Geometry).
We are interested in two aspects of the Fourier Analysis :

(1) The Euclidean Fourier Analysis, where a deep analysis can be performed using specificities as the notion of ``frequencies'' (involving the Fourier transform) or the geometry of the Euclidean balls. By taking advantage of them, this proposal aims to pursue the study and bring novelties in three fashionable topics : the study of bilinear/multilinear Fourier multipliers, the development of the ``space-time resonances'' method in a systematic way and for some specific PDEs, and the study of nonlinear transport equations in BMO-type spaces (as Euler and Navier-Stokes equations).

(2) A Functional Fourier Analysis, which can be performed in a more general situation using the notion of ``oscillation'' adapted to a heat semigroup (or semigroup of operators). This second Challenge is (at the same time) independent of the first one and also very close. It is very close, due to the same point of view of Fourier Analysis involving a space decomposition and simultaneously some frequency decomposition. However they are quite independent because the main goal is to extend/develop an analysis in the more general framework given by a semigroup of operators (so without using the previous Euclidean specificities). By this way, we aim to transfer some results known in the Euclidean situation to some Riemannian manifolds, Fractals sets, bounded open set setting, ... Still having in mind some applications to the study of PDEs, such questions make also a connexion with the geometry of the ambient spaces (by its Riesz transform, Poincaré inequality, ...). I propose here to attack different problems as dispersive estimates, ""L^p""-version of De Giorgi inequalities and the study of paraproducts, all of them with a heat semigroup point of view."

Finanzierungsplan

ERC-STG - Starting Grant

Gastgebende Einrichtung

CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE CNRS
Netto-EU-Beitrag
€ 940 540,34
Adresse
RUE MICHEL ANGE 3
75794 Paris
Frankreich

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Region
Ile-de-France Ile-de-France Paris
Aktivitätstyp
Research Organisations
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Gesamtkosten
€ 940 540,34

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