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Las álgebras extienden un universo tradicionalmente de dimensiones finitas

Quedan muchas preguntas por resolver acerca de la estructura de las álgebras de Kac-Moody, generalizaciones de álgebras de Lie a dimensiones infinitas. Una investigación apoyada por la Unión Europea ha relacionado sus propiedades topológicas con las analíticas.
Las álgebras extienden un universo tradicionalmente de dimensiones finitas
Las álgebras de Kac-Moody fueron introducidas de forma independiente en los años sesenta por Victor Kac y Robert Moody como una generalización de las álgebras de Lie de dimensiones finitas. En los últimos años, la teoría ha evolucionado de una forma tan radical en distintos sentidos que se ha convertido en una herramienta estándar en matemáticas.

El proyecto KMLIEGROUPS (Infinite-dimensional Lie theory and Kac-Moody groups), financiado por la Unión Europea, se centró en los grupos de Kac-Moody. Puesto que la teoría de estructuras de las álgebras de Kac-Moody se desarrolló como analogía completa con la teoría clásica, estos grupos son análogos de los grupos de Lie pero con dimensiones infinitas.

El equipo de KMLIEGROUPS estudió los grupos de Kac-Moody desde un punto de vista analítico. Durante el proyecto, se realizó un análisis detallado de las representaciones de energía positiva de las álgebras y los grupos de Lie que generalizan las álgebras y los grupos de Kac-Moody a un rango infinito.

Los matemáticos aislaron las representaciones de energía positiva irreductibles del producto semidirecto de cualquier acción continua de grupos aditivos de números reales sobre grupos de Lie. Estas se consideraron como un subconjunto de las clases de equivalencia de representaciones unitarias irreductibles de cada grupo de Lie.

El equipo llevó a cabo representaciones de grupos de Hilbert-Lie con la máxima ponderación y afinizaciones de dichos grupos. Estas álgebras de Lie son generalizaciones naturales de los grupos afines de Kac-Moody a un rango infinito. A continuación, el estudio de KMLIEGROUPS se centró en grupos de Kac-Moody maximales sobre campos finitos.

Se estudió la acción de un grupo de Kac-Moody maximal de rango dos sobre el contorno de su construcción. Los matemáticos mostraron que siempre actúa transitivamente sobre el contorno mientras que los subgrupos son primitivos en él. Es importante observar que este trabajo contribuyó a profundizar en el conocimiento de los subgrupos localmente normales.

KMLIEGROUPS arrojó nueva luz sobre la correspondencia entre un grupo de Kac-Moody y su álgebra con teoremas sobre morfismos entre álgebras que se pueden transferir a sus grupos correspondientes. En el pasado, a diferencia de la correspondencia entre un grupo de Lie y su álgebra, no se había profundizado mucho en la teoría de dimensiones finitas.

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Palabras clave

Álgebras de Kac-Moody, álgebras de Lie, matemáticas, KMLIEGROUPS, grupos de Lie
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