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Le algebre estendono un universo tradizionalmente limitato a livello dimensionale

Molte domande circa la struttura delle algebre di Kac-Moody, generalizzazioni delle algebre di Lie con dimensioni infinite, rimangono senza risposta. La ricerca dell’UE ha contribuito a relazionare le proprietà topologiche con quelle analitiche.
Le algebre estendono un universo tradizionalmente limitato a livello dimensionale
Le algebre di Kac-Moody sono state introdotte in modo indipendente nel 1960 da Victor Kac e Robert Moody per generalizzare le algebre di Lie, aventi dimensioni finite. Negli ultimi anni, tale teoria ha subito incredibili sviluppi in varie direzioni, diventando uno strumento standard in matematica.

Il progetto KMLIEGROUPS (Infinite-dimensional Lie theory and Kac-Moody groups), finanziato dall’UE, era incentrato sui gruppi di Kac-Moody. Poiché la teoria della struttura relativa alle algebre di Kac-Moody è stata sviluppata in completa analogia con la teoria classica, questi gruppi sono analoghi infinito-dimensionali dei gruppi di Lie.

Il team di ricerca KMLIEGROUPS ha studiato i gruppi di Kac-Moody dal punto di vista analitico. È stata effettuata un’analisi dettagliata delle rappresentazioni di energia positiva delle algebre e dei gruppi di Lie che generalizzano le algebre e i gruppi di Kac-Moody di rango infinito.

I matematici hanno isolato rappresentazioni irriducibili di energia positiva relative al prodotto semi-diretto di qualsiasi azione continua di gruppi additivi di numeri reali su gruppi di Lie. Questi sono stati considerati come un sottoinsieme delle classi di equivalenza relative alle rappresentazioni unitarie irriducibili di ogni gruppo di Lie.

Il team ha svolto rappresentazioni di gruppi di Hilbert-Lie con il peso più elevato e affinizzazioni di tali gruppi. Tali algebre di Lie sono generalizzazioni naturali di gruppi di Kac-Moody affini di rango infinito. Successivamente, lo studio KMLIEGROUPS si è concentrato sui massimi gruppi di Kac-Moody in relazione ai campi finiti.

È stata studiata l’azione di un gruppo massimo di Kac-Moody di rango due sulla frontiera della relativa costruzione. I matematici hanno dimostrato che ciò agisce sempre in modo transitivo sulla frontiera, mentre i sottogruppi sono primitivi. In maniera importante, ciò ha contribuito a una migliore comprensione dei sottogruppi localmente normali.

Il progetto KMLIEGROUPS getta nuova luce sulla corrispondenza tra un gruppo di Kac-Moody e la sua algebra, con teoremi su morfismi tra algebre che possono essere trasferiti ai gruppi corrispondenti. In passato, a differenza della corrispondenza tra un gruppo di Lie e la sua algebra, la comprensione della teoria dimensionale infinita era poco conosciuta.

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Keywords

Algebre di Kac-Moody, algebre di Lie, matematica, KMLIEGROUPS, gruppi di Lie