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Des structures non-commutatives en physique quantique

La révolution quantique en physique a introduit de nouveaux types de structures non-commutatives, inspirant de nouvelles directions pour la recherche en mathématiques. Des mathématiciens financés par l'UE ont récemment établi des extensions d'algèbres C*.
Des structures non-commutatives en physique quantique
En physique quantique, les scientifiques partent souvent de variables mesurables classiques, puis écrivent des formules impliquant que ces variables ne commutent pas. Ils définissent ainsi une «algèbre des mesurables». Les algèbres C* sont une méthode pour que ce processus donne des résultats plus précis.

Par exemple, certaines théories de champ quantique autorisent de nombreux états du vide. Chacun de ces états donne une représentation différente de l'algèbre C* des mesurables, en tant qu'opérateurs sur un espace de Hilbert. On peut dire que chacun de ces états du vide «vit» dans un espace de Hilbert différent.

En dépit des nombreux progrès en matière d'algèbre C*, les physiciens ont besoin d'en savoir davantage sur leurs nombreuses représentations. Les mathématiciens du projet OPERADYNADUAL (Operator algebras and single operators via dynamical properties of dual objects), financé par l'UE, ont construit des algèbres à opérateurs à partir de données dynamiques.

L'équipe a conçu un nouveau langage mathématique de pré-catégories C*, conduisant à des constructions générales qui étendent les plus réussies des constructions de cette sorte. Il s'agit des algèbres Cuntz-Pimsner et Nica-Toeplitz, associées à des correspondances C*.

Les correspondances C* dotées d'algèbres commutatives représentent des graphes, ce qui ouvre la voie à une étude détaillée des algèbres C* correspondantes. L'un des principaux résultats du projet a ainsi été le développement de la théorie de graphes duaux de correspondances C*, avec des algèbres non-commutatives de coefficients.

L'équipe du projet OPERADYNADUAL a aussi introduit des produits croisés d'une algèbre C*, en utilisant une carte complètement positive relative à un idéal dans cette algèbre. Si celle-ci est commutative, il s'agissait d'algèbres C* associées avec des opérateurs et des relations topologiques.

Les nouvelles constructions mathématiques devraient ouvrir de nouvelles lignes de recherche. En outre, ces nouvelles méthodes innovantes d'analyse auront un impact important de par leur large gamme d'applications potentielles, au-delà de la théorie des algèbres à opérateurs et de la physique quantique.

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Mots-clés

Structure non-commutative, physique quantique, algèbre C*, OPERADYNADUAL, algèbre à opérateurs