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Einheitliche Theorie der metrischen Analyse offenbart Strukturen innerhalb von Daten

Im Rahmen seiner Arbeit mit abstrakten geometrischen Strukturen war das EU-finanzierte Projekt MANET in der Lage, eine Reihe von Phänomenen als Integralkurven von Vektorfeldern zu modellieren. So konnte das Projekt Aufschluss über Netzhautgefäße und kortikale Konnektivität sowie Fahrdynamik und Verkehrsfluss geben.
Einheitliche Theorie der metrischen Analyse offenbart Strukturen innerhalb von Daten
Messungen untermauern anhand von Metriken einen Großteil unseres Verständnisses von der Welt. Dieser Zweig der Mathematik kommt bei der Messung von Abständen zwischen Punkten in geometrischen Umgebungen zum Einsatz. Die metrische Analyse gestattet es den Forschern, Probleme beim Verständnis der Struktur unregelmäßiger Räume zu berücksichtigen, die als „nicht isotrop“ bezeichnet werden, wobei Bewegungen in einige Richtungen durch eine Nebenbedingung ausgeschlossen sind. Am besten wird das vielleicht durch die Bewegungen von Robotern demonstriert, die typischerweise durch die physikalische Beziehung zwischen den Teilen eingeschränkt sind.

Die metrische Analyse erweist sich jedoch als unzureichend für eine vollständige Beschreibung und Erklärung von Bewegungen in allen Systemen in Zeit und Raum. Das EU-finanzierte Projekt MANET wurde eingerichtet, um eine einheitliche Theorie der metrischen Analyse zu entwickeln, die über das Potenzial verfügt, langjährige offene Fragen der Mathematik zu beantworten, die unter Einsatz eines singulären Ansatzes bislang unlösbar waren.

Das Projekt entwickelte neue Instrumente zur metrischen Analyse, die auf ein breites Spektrum von neu entstehenden Technologien anwendbar sind, mit dem Schwerpunkt computergestütztes Sehen (Computer Vision), Gehirnmodelle und Verkehrsdynamik.

„Die Geometrie der Umgebung“

„Mathematik ist die Sprache der Wissenschaften, aber trotz einer großen Menge an Daten aus verschiedenen wissenschaftlichen Gebieten, die aus den neuen Technologien stammen, verstehen wir immer noch nicht alle zugrundeliegenden Strukturen der Phänomene, auf die sie sich beziehen“, erläutert Projektkoordinatorin Prof. Giovanna Citti die strukturellen Gegebenheiten des Projekts. „MANET hat metrische Analysewerkzeuge entwickelt, welche die Geometrie biologischer und komplexer Systeme unter die Lupe nehmen.“

Auf der Suche nach einer einheitlichen Theorie wandte MANET eine Vielzahl von Ansätzen an, etwa die geometrische Maßtheorie und die Minimalflächentheorie, um die mathematischen Probleme zu lösen. Das Team interessierte sich insbesondere für die Untersuchung sogenannter „degenerierter partieller Differentialgleichungen“. Das sind Gleichungen, welche die Beziehung zwischen der Funktion eines Phänomens und seinen Änderungsraten beschreiben können, wenn diese eine unbekannte Anzahl von Variablen aufweisen. Dabei handelt es sich um einen Ansatz, der oftmals zur Anwendung kommt, um Phänomene wie Wärme oder Schall zu erklären.

Wie Prof. Citti erläutert, „hat MANET sehr fortschrittliche Instrumente eingesetzt, um scheinbar verschiedene Probleme, beispielsweise das Verständnis des menschlichen Sehvermögens und des Verkehrsflusses, zu untersuchen. Aus mathematischer Sicht lassen sich diese Strukturen auf ähnliche Weise beschreiben.“

Interessant für Theorie und Praxis

Mit der einheitlichen Theorie von MANET gelang es, mehr Licht in Struktur und Funktionalität jener Teile des Gehirns zu bringen, die für Wahrnehmungsphänomene verantwortlich sind. Insbesondere hat man erforscht, wie visuelle Illusionen entstehen können und das Gehirn „wahrnehmbare Einheiten“ erkennen kann, indem es eine Vielzahl von Elementen wie etwa einen Vogelschwarm gruppiert, um die Welt zu verstehen.

Die Arbeiten ergaben nützliche Ergebnisse für die zukünftige Entwicklung von Computervisualisierungs- und Interpretationsgeräten, etwa für die medizinische Diagnostik.

Die Arbeit von MANET im Zusammenhang mit der genaueren Kartierung der Aktivierung der Netzhautgefäße in Zeit und Raum innerhalb des visuellen Kortex des Gehirns hat weitreichende Auswirkungen. Prof. Citti dazu: „Unsere Methode ist wirklich leistungsfähig, da sie es uns gestattet, die Netzhautgefäße über verschiedene Ebenen und Dimensionen hinweg darzustellen und zu klassifizieren, was uns seltene eindeutige Details sehen lässt. Dieser Ansatz kann zur Untersuchung einer Palette von degenerativen Erkrankungen wie beispielsweise Diabetes angewandt werden, da die Krümmung und weitere geometrische Eigenschaften der Netzhautgefäße als effiziente Biomarker betrachtet werden.“

In Hinsicht auf den Schwerpunkt Verkehrsfluss ging das Projekt von einer abstrakten mathematischen Theorie – der sogenannten „Verkehrstheorie“ – aus, die dann auf die Verkehrsdynamik angewandt wurde, um ein Modell zu erstellen, das die wahrscheinliche Verkehrsdichte zu verschiedenen Zeiten und an verschiedenen Orten berechnen kann, was von großem Nutzen für die Stadtplanung ist.

Prof. Citti fasst zusammen: „Ich denke, dass unsere Ergebnisse zur metrischen Analyse Instrumente für alle Gebiete der Mathematik von der Geometrie bis zur Wahrscheinlichkeitstheorie zu bieten haben, da sie Elemente liefern, die für ein breites Spektrum von Modellen nützlich sind.“

Fachgebiete

Life Sciences

Schlüsselwörter

MANET, metrisch, Metrik, Messung, Verkehr, Sehen, einheitliche Theorie, Modellierung, Mathematik, Geometrie, Variablen, Wahrscheinlichkeit
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