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Una teoría unitaria de análisis métrico para desvelar estructuras en los datos

El trabajo realizado por el proyecto financiado con fondos europeos MANET en materia de estructuras geométricas abstractas permitió modelar una serie de fenómenos como curvas integrales de campos de vectores. De este modo, sus responsables extrajeron información sobre los vasos retinales y la conectividad cortical, así como sobre dinámicas de vehículos y flujo del tráfico.
Una teoría unitaria de análisis métrico para desvelar estructuras en los datos
Buena parte del conocimiento que se posee sobre el entorno se debe a la medición, esto es la rama de la matemática utilizada para medir distancias entre puntos en espacios geométricos. Los análisis métricos permiten plantear problemas con los que resolver la estructura de espacios no regulares referidos como «no isotrópicos», en los que el movimiento en alguna de las direcciones está limitado por algún tipo de restricción. Esto queda patente en el movimiento de los robots, normalmente restringido por la relación física entre cada una de sus partes.

No obstante, el análisis métrico es insuficiente para describir y explicar el movimiento en todos los sistemas espaciotemporales. El proyecto financiado con fondos europeos MANET se creó para generar una teoría unitaria del análisis métrico que pudiese resolver muchos de los viejos problemas matemáticos que hasta ahora no se han podido resolver con ningún método individual.

El proyecto desarrolló instrumentos nuevos de análisis métrico aplicables a una amplia gama de tecnologías emergentes, y en mayor medida a la visión artificial, los modelos cerebrales y las dinámicas del tráfico.

«La geometría del entorno»

La coordinadora del proyecto, la profesora Giovanna Citti, explicó la razón de ser de MANET en los términos siguientes: «Las matemáticas son el idioma de la ciencia y, a pesar de la enorme cantidad de datos generada por las nuevas tecnologías en distintos ámbitos científicos, aún no conocemos las estructuras subyacentes a los fenómenos a los que hacen referencia. MANET creó herramientas de análisis métrico con las que estudiar la geometría de sistemas biológicos y complejos».

En su búsqueda de una teoría unitaria, MANET empleó varios métodos como la teoría de medición geométrica y la de superficies mínimas a problemas matemáticos sin respuesta. El equipo se interesó en mayor medida por la investigación de «ecuaciones diferenciales parciales degeneradas (PDE, por sus siglas en inglés)». Estas ecuaciones describen las relaciones entre la función de un fenómeno y la velocidad a la que cambia cuando esto posee una cantidad desconocida de variables. Este método suele utilizarse para describir fenómenos como el calor o el sonido.

Tal y como explica la profesora Citti: «MANET utilizó instrumentos muy sofisticados para estudiar problemas en apariencia muy diferentes, como la visión humana o el tráfico. Desde un punto de vista matemático, estas estructuras pueden describirse de forma muy similar».

De interés teórico y práctico

La teoría unitaria de MANET logró aclarar aspectos de la estructura y la funcionalidad de las partes del encéfalo responsables del fenómeno de la percepción. En concreto, se estudió el modo en el que se producen las ilusiones visuales y la capacidad del encéfalo para reconocer «unidades de percepción» que agrupan varios elementos como una bandada de pájaros, en su esfuerzo por dar sentido al entorno.

El trabajo obtuvo unos resultados interesantes para el futuro diseño de sistemas de visualización artificiales y dispositivos de interpretación como los empleados en los diagnósticos médicos.

El trabajo realizado por los responsables de MANET tiene muchas aplicaciones, como el registro más preciso de la activación de los vasos retinales en las coordenadas espaciotemporales de la corteza visual del encéfalo. Tal y como expone la profesora Citti: «Nuestro método es muy potente, ya que nos permite representar y clasificar los vasos retinales en distintos planos y dimensiones, lo que genera una información excepcional y precisa. Este método puede aplicarse al estudio de una serie de enfermedades degenerativas como la diabetes, dado que la curvatura y otras propiedades geométricas de los vasos retinales se consideran biomarcadores eficaces».

En cuanto al control del tráfico, el proyecto partió de una teoría matemática abstracta denominada «teoría del transporte» que se aplicó a la dinámica del tráfico para crear un modelo capaz de calcular la densidad probable del tráfico en distintos momentos y lugares, lo cual es obviamente muy útil para los urbanistas.

Tal y como concluye la profesora Citti: «Creo que nuestros resultados sobre el análisis métrico son útiles para todas las ramas de las matemáticas, desde la geometría a la teoría de la probabilidad, ya que ofrecen elementos útiles para una amplia gama de modelos».

Palabras clave

MANET, métrica, medición, tráfico, visión, teoría unitaria, modelización, matemáticas, geometría, variables, probabilidad
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