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Una teoria unitaria dell’analisi metrica svela strutture all’interno dei dati

Dal momento che il progetto MANET, finanziato dall’UE, ha lavorato con strutture geometriche astratte, è stato in grado di modellare una gamma di fenomeni come curve integrali di campi vettoriali. Ciò ha consentito al progetto di fare luce sui vasi sanguigni retinici e la connettività corticale, oltre che sulla dinamica dei veicoli e il flusso del traffico.
Una teoria unitaria dell’analisi metrica svela strutture all’interno dei dati
La misurazione sorregge gran parte della nostra comprensione del mondo; la metrica è una branca della matematica utilizzata per misurare distanze tra punti in contesti geometrici. L’analisi metrica consente ai ricercatori di valutare problemi riguardanti la comprensione della struttura di spazi non regolari, a cui si fa riferimento come «non isotropi», dove i movimenti in alcune direzioni sono impediti da un limite. Questo è forse dimostrato al meglio dai movimenti dei robot, generalmente vincolati dalla relazione fisica tra le parti.

L’analisi metrica si sta tuttavia dimostrando inadeguata per descrivere e spiegare completamente il movimento in tutti i sistemi nel tempo e nello spazio. Il progetto MANET, finanziato dall’UE, è stato istituito per sviluppare una teoria unitaria dell’analisi metrica con il potenziale di fornire una soluzione a problemi aperti di vecchia data in matematica, finora irrisolvibili usando un approccio unico.

Il progetto ha sviluppato nuovi strumenti per l’analisi metrica, applicabili a un’ampia gamma di tecnologie emergenti, con un’attenzione particolare concentrata su visione artificiale, modelli del cervello e dinamica del traffico.

«La geometria dell’ambiente»

Spiegando come MANET ha avuto inizio, la prof.ssa Giovanna Citti, coordinatrice del progetto, dice: «La matematica è il linguaggio della scienza eppure, nonostante la grande quantità di dati generata dalle nuove tecnologie, da differenti settori scientifici, ancora non sempre comprendiamo le strutture sottostanti dei fenomeni a cui si riferiscono. MANET ha sviluppato strumenti di analisi metrica che esplorano la geometria di sistemi biologici e complessi».

Nella sua ricerca di una teoria unitaria, MANET ha messo in campo una varietà di approcci, come per esempio la teoria geometrica della misura e la teoria delle superfici minime, applicandoli ai problemi matematici irrisolti. Il gruppo di ricerca era interessato in modo particolare allo studio delle cosiddette «equazioni alle derivate parziali (PDE) degeneri». Si tratta di equazioni che possono descrivere la relazione tra la funzione di un fenomeno con i suoi tassi di cambiamento, quando quest’ultimo ha un numero sconosciuto di variabili. Questo approccio viene spesso usato per spiegare fenomeni come ad esempio il calore o il suono.

Come spiega meglio la prof.ssa Citti, «MANET ha usato strumenti molto sofisticati per studiare problemi apparentemente differenti, come per esempio la comprensione della visione umana e il flusso del traffico. Da un punto di vista matematico queste strutture possono essere descritte in modo simile».

Di interesse teorico e applicato

La teoria unitaria di MANET è riuscita a fare più luce sulla struttura e sulla funzionalità delle parti del cervello responsabili dei fenomeni percettivi. In particolare, i ricercatori hanno osservato come si possono verificare le illusioni ottiche e la capacità del cervello di riconoscere «unità percettive», raggruppando una moltitudine di elementi come per esempio uno stormo di uccelli, nel suo tentativo di comprendere il mondo.

Il lavoro ha prodotto risultati utili per la progettazione futura di visualizzazione artificiale e dispositivi interpretativi, come ad esempio la diagnostica medica.

Il lavoro di MANET volto a mappare in modo più preciso l’attivazione dei vasi sanguigni retinici nel tempo e nello spazio all’interno della corteccia visiva del cervello ha implicazioni più ampie. Come spiega la prof.ssa Citti, «il nostro metodo è davvero potente, poiché ci consente di rappresentare e classificare i vasi sanguigni retinici all’interno di piani e dimensioni differenti, fornendoci rari dettagli non ambigui. Questo approccio può essere messo in campo per studiare un’ampia gamma di malattie degenerative, come ad esempio il diabete, visto che curvatura e altre proprietà geometriche dei vasi sanguigni retinici sono considerate efficienti biomarcatori».

Per quanto riguarda l'attenzione dedicata al flusso del traffico, il progetto è partito da una teoria matematica astratta chiamata «teoria dei trasporti» che è poi stata applicata alle dinamiche del traffico per creare un modello capace di calcolare la probabile densità del traffico in momenti e luoghi differenti, di evidente utilità per gli urbanisti.

Come conclude la prof.ssa Citti: «Penso che i nostri risultati sull’analisi metrica offrano strumenti a tutti i campi della matematica, dalla geometria alla teoria della probabilità, visto che forniscono elementi utili a un’ampia gamma di modelli».

Argomenti

Life Sciences

Keywords

MANET, metrica, misurazione, traffico, visione, teoria unitaria, modellazione, matematica, geometria, variabili, probabilità