Przestrzenie i odwzorowania
Układy złożone obejmują dużą liczbę składowych, których całościowe interakcje mogą przynosić nieoczekiwane reakcje. Takie intrygujące zachowania mogą być kodowane charakterem i natężeniem interakcji między poszczególnymi składowymi. Nowe osiągnięcia w dziedzinie analizy matematycznej umożliwiły odwzorowanie złożoności poprzez śledzenie i ocenę takich interakcji. Naukowcy pracujący nad finansowanym ze środków UE projektem COVMAPS opracowali niezbędne narzędzia matematyczne do badania ogólnych klas układów dynamicznych w przestrzeniach metrycznych. Głównym obszarem prac badawczych były właściwości odwzorowań pokrywających w uogólnionych przestrzeniach metrycznych oraz warunki dostateczne rozwiązalności wielu rodzajów równań i iniekcji zdefiniowanych przez odwzorowania wielowartościowe z pokryciem warunkowym w przestrzeniach metrycznych. Uzyskane wyniki techniczne zastosowano do badania warunków rozwiązalności, istnienia równowagi i warunków stabilności różnych rodzajów równań i iniekcji o znaczeniu praktycznym w wielu obszarach. Wyniki te stanowią podstawę dla rozwiązania trudności technicznych związanych z badaniem globalnych warunków rozwiązalności w układach sterowania oraz koniecznych warunków optymalności układów sterowania zdefiniowanych równaniami Volterry. Wyniki projektu COVMAPS w obszarze analizy matematycznej mają zastosowanie do zagadnień sterowania i optymalizacji, przez co będą cenne również dla badaczy w innych dziedzinach matematyki i inżynierii. Są one szczególnie aktualne z punktu widzenia wyzwań, jakie stwarza szybki rozwój technologii społeczeństwa informacyjnego, które wymagają coraz bardziej wyrafinowanych struktur matematycznych wspomagających projektowanie zaawansowanych systemów. Kluczowe klasy zagadnień dotyczą kontrolowania i optymalizowania systemów hybrydowych i impulsowych w celu modelowania agentów rozproszonych lub współpracujących w sieci, co obejmuje zarówno systemy cybernetyczno-fizyczne, jak i systemy systemów. To młode podejście jest coraz powszechniej uznawane za najbardziej obiecującą metodę w przypadku dużych, rozproszonych systemów sieciowych. Aby sprawdzić możliwości stosowania swoich badań w praktyce, naukowcy z projektu COVMAPS wykorzystają kontakty z Laboratorium Systemów i Technik Podwodnych (LSTS) na Uniwersytecie Porto w Portugalii. LSTS specjalizuje się w projektowaniu, budowaniu i eksploatowaniu bezzałogowych pojazdów zrobotyzowanych, w których komputerach pokładowych używane są optymalizacyjne algorytmy sterujące. Sieci łączące wiele takich robotów stanowią idealne środowisko testowe dla ulepszonych algorytmów stworzonych dzięki wynikom projektu. Pionierskie wyniki projektu COVMAPS stanowią krok w kierunku lepszego zrozumienia systemów o dużej skali, a ich wpływ znacznie wykracza poza same sieci komputerowe. Oczekuje się, że zrealizowane prace odmienią metody badań nad modelowaniem, prognozowaniem i kontrolowaniem różnych klas systemów, przez co mogą znaleźć zastosowanie w badaniu rozprzestrzeniania się epidemii, składaniu białek i analizach dynamiki społecznej.
Słowa kluczowe
Odwzorowania, układy złożone, przestrzenie metryczne, odwzorowania pokrywające, algorytmy sterujące
