Einfache Räume erhellen komplizierte Strukturen
Die torische Geometrie, ein Teilgebiet der algebraischen Geometrie, nutzt relativ einfache diskrete Strukturen, um möglicherweise komplizierte algebraische Varietäten darzustellen. Letztere sind für die Betrachtung anderer Objekte in ihren Umgebungsräumen wichtig. Das Projekt Contact manifolds ("Complex projective contact manifolds") arbeitet an der Klassifizierung komplexer projektiver Kontaktfanomannigfaltigkeiten und Quaternion-Kählermannigfaltigkeiten mit positiver Skalarkrümmung. Außerdem sollen in dem EU-geförderten Projekt auch glatte Subvarianten von projektivem Raum klassifiziert werden, die bestimmte Eigenschaften wie etwa glatte Dualität aufweisen. Hierbei geht es um geometrische Transformationen, bei denen Punkte durch Linien und Linien durch Punkte ersetzt werden, ohne dass die Eigenschaften des Objekts hinsichtlich Inzidenz oder Schnittpunkten von Teilmengen verändert werden. Nach der Festlegung einer Reihe von Zielen für ihre Arbeiten befassen sich die Forscher nun mit der Unterscheidung zwischen den geometrischen Eigenschaften von Quaternion-Kählermannigfaltigkeiten und den algebraisch-geometrischen Eigenschaften komplexer Kontakt-Fanomannigfaltigkeiten. In Experimenten konnte bisher bewiesen werden, dass jede Kontakt-Fanomannigfaltigkeit in vielerlei Hinsicht eine ähnliche Struktur wie eine homogene Mannigfaltigkeit aufweist. Zum Beispiel können anhand der Geometrie einer Kontakt-Fanomannigfaltigkeit verschiedene andere algebraische Begriffe formuliert werden, beispielsweise die Killing-Form (symmetrische Bilinearform), die Graduierung der Lie-Algebra sowie ein Teil der Lie-Klammer. Den Teammitgliedern ist es gelungen, die algebraischen Landkarten zwischen torischen Varietäten und ihrer homogenen Koordinaten zu beschreiben. Sie haben auch einen Computercode geschrieben, mit dem sich bestimmte Berechnungen zur Stärke dieser Beschreibungen durchführen lassen. In weiteren Arbeiten geht es um die Untersuchung von Sekantenvarietäten von Segre-Produkten, um eine neue Sichtweise von ihnen zu erhalten. Im Rahmen von Contact manifolds sollen noch umfangreichere Ergebnisse zu Kontaktmannigfaltigkeiten und Legendrianvarietäten erreicht werden.
