Więcej niż szerokość, rozpiętość i wysokość Myśląc o geometrii większość, z nas bierze pod uwagę przestrzeń trójwymiarową (3D) wyznaczoną osiami x, y i z, która umożliwia nam określanie powszechnych struktur. W końcu wykonując pomiar nowego biurka, przyglądamy się jego szerokości, rozpiętości i wysokości, by określić, czy jego wielkość umożliwi ustawienie go w pożądanym miejscu. Technologie przemysłowe © Shutterstock Naukowcy zajmujący się dziedzinami od teorii prawdopodobieństwa po fizykę kwantową i mechanikę statystyczną badają problemy matematyczne obejmujące przestrzenie geometryczne o liczbie wymiarów znacznie większej od trzech, teoretycznie zmierzającej do nieskończoności. Wymaga to opracowania złożonych metod liczbowych, które ułatwią zrozumienie rozwiązań tych problemów. Projekt o nazwie "Geometryczne zjawiska w wyskowymiarowych rozkładach prawdopodobieństwa" (GPHDPD) opiera się na koncepcji mówiącej, przeciwnie do powszechnego mniemania, że właściwie postrzegana wysoka wymiarowość może wnieść prostotę i porządek, a nie komplikacje. W pierwszym okresie sprawozdawczym projektu GPHDPD badacze połączyli dwie pozornie rozłączne teorie dotyczące wysokowymiarowych wypukłych przestrzeni geometrycznych. Pierwsza związana jest z problemem dzielenia i zasadniczo definiuje matematycznie przekrój płaszczyznopodobny (hiperpłaszczyzna), który przecina n-wymiarowe ciało wypukłe określonymi kryteriami matematycznymi. Druga dotyczy fundamentalnego twierdzenia matematycznego, centralnego twierdzenia granicznego, które mówi, że wraz ze wzrostem liczby próbek z dowolnej populacji, rozkład prawdopodobieństwa wartości średnich będzie zbliżał się do rozkładu normalnego (tzw. krzywej dzwonowej). Badacze zdołali udowodnić, że druga teoria implikuje pierwszą, co jest ważnym i dość nieoczekiwanym wynikiem. Ponadto badacze dotychczas dostarczyli dowody na rzecz ważnego twierdzenia matematycznego w zakresie uproszczenia wysokowymiarowych miar prawdopodobieństwa związanych z symetriami aproksymalnymi oraz tzw. niemal radialnymi marginesami. W ten sposób projekt GPHDPD wniósł już dwa nowe dowody matematyczne związane ze zjawiskami geometrycznymi w wysokowymiarowych rozkładach prawdopodobieństwa o szerokim zastosowaniu w prawdopodobieństwie i statystyce w (nieskończenie?) wielu dziedzinach.
