Deformacje równoczesne w algebrze i geometrii
Pojęcie deformacji występuje w wielu dziedzinach matematyki. Używa się go do badania obiektów określonego rodzaju poprzez organizowanie ich według rodzin i określanie pokrewieństwa między nimi. W uproszczeniu, jest to podejście stosowane do określania modułów struktury algebraicznej lub bardziej ogólnej struktury. Deformacja różnego rodzaju struktur matematycznych może zostać ujęta w języku silnie homotopijnych algebr Liego. W większości przypadków otrzymanie algebry Liego rządzącej danym problemem deformacji może być trudne. Znane są techniki umożliwiające rozwiązanie tego problemu, bazujące na operadach. W ramach projektu HQSMCF (Homotopy quantum symmetries, monoidal categories and formality), finansowanego ze środków UE, matematycy dopracowali jedną z technik pozwalających na otrzymywanie algebr Liego z prostych koncepcji stopniowej algebry liniowej. Przystosowano ją do badania deformacji równoczesnych. Zespół HQSMCF zastosował tę stosunkowo prostszą technikę do starych problemów z dziedziny algebry, a ponadto przedstawił zastosowania geometryczne, które nie były w inny sposób możliwe. Dokładniej mówiąc, uczeni użyli tej techniki na deformacjach równoczesnych różnych struktur algebraicznych i ich morfizmach. Silnie homotopijne algebry Liego są skojarzone z rozmaitościami posiadającymi zamkniętą formę. W celu badania działań grup Liego na tych rozmaitościach matematycy wprowadzili teorię odwzorowań homotopijnych momentów. Odwzorowania takie są zasadniczo morfizmami z algebry Liego grupy do wyższej algebry Poissona-Liego. Określono powiązania z wcześniejszymi pracami z zakresu klasycznej teorii pola, teorii algebroidów i geometrii różniczkowej. Matematycy wykorzystali też opracowaną teorię do skonstruowania różnych silnie homotopijnych algebr Liego jako wyższych centralnych rozszerzeń geometrycznych algebr Liego. Badania nad silnie homotopijnymi algebrami Liego były okazją do zacieśnienia współpracy między wybitnym matematykami. Uczestnicy projektu liczą, że sieć europejskich i światowych instytucji naukowych będzie rozwijać się także po zakończeniu realizacji inicjatywy.
Słowa kluczowe
Deformacje równoczesne, algebra Liego, HQSMCF, stopniowa algebra liniowa, morfizm, działania grup Liego
