Deformaciones simultáneas en álgebra y geometría
El concepto de deformación es ubicuo en las matemáticas. Se utiliza para estudiar objetos de un tipo específico organizándolos en familias y determinando cómo se relacionan. Esencialmente, este es el enfoque que se utiliza para determinar los módulos de una estructura algebraica o más general. La deformación de distintos tipos de estructuras matemáticas se puede encapsular en el lenguaje de las álgebras de Lie fuertemente homotópicas. La mayoría de las veces, puede ser difícil obtener el álgebra de Lie que gobierna un problema de deformación determinado. Existen técnicas conocidas basadas en opéradas para resolver este problema. En el marco del proyecto HQSMCF (Homotopy quantum symmetries, monoidal categories and formality), financiado por la Unión Europea, los matemáticos desarrollaron una técnica propuesta para generar álgebras de Lie a partir de conceptos sencillos de álgebra lineal graduada. Esto se adaptó al estudio de deformaciones simultáneas. El equipo de HQSMCF aplicó esta técnica relativamente más fácil a problemas anteriores de álgebra y reprodujeron resultados conocidos. Además, mostraron aplicaciones geométricas que no hubiesen sido posibles de otro modo. En particular, la utilizaron con éxito sobre deformaciones simultáneas de distintas estructuras algebraicas y sus morfismos. Las álgebras de Lie fuertemente homotópicas están asociadas a variedades que disponen de una forma cerrada. Para estudiar acciones de grupos de Lie sobre estas variedades, los matemáticos introdujeron una teoría de los mapas de momento de homotopía. Estos mapas son, esencialmente, morfismos del álgebra de Lie del grupo sobre una álgebra de Lie Poisson superior. Se establecieron relaciones con trabajos previos en la teoría de campos clásica, la teoría de algebroides y la geometría diferencial. Finalmente, los matemáticos utilizaron la teoría desarrollada para construir geométricamente distintas álgebras de Lie fuertemente homotópicas como extensiones centrales superiores de álgebras de Lie. Junto con el progreso para demostrar la formalidad de las álgebras de Lie fuertemente homotópicas, HQSMCF estableció colaboraciones estrechas entre matemáticos de alto nivel. Se espera que esta red de instituciones europeas y de otros países siga funcionando después de finalizar este proyecto.
Palabras clave
Deformaciones simultáneas, álgebra de Lie, HQSMCF, álgebra lineal graduada, morfismos, acciones de grupo de Lie
