Abstecher ins Abenteuer
Die Theorie der großen Abweichung ist ein Eckpfeiler auf dem Gebiet der modernen Wahrscheinlichkeit und wird in den Bereichen statistische Mechanik, Informationstheorie, Risikomanagement sowie vielen weiteren Bereichen verwendet. Das Projekt LARGEDEVRWRE (Large deviations for random walks in random environments) wurde ins Leben gerufen, um ein tieferes Verständnis über die Eigenschaften großer Abweichungen bei mehrdimensionalen RWRE zu gewinnen. Viele natürliche Systeme zeigen komplexe Phänomene, die mithilfe stochastischer Modelle untersucht werden können, welche oftmals „feineinstellbare“ Parameter wie Zeit, Volumen oder eine Reihe von Partikeln beinhalten. Bei einigen dieser Modelle wurde das Verhalten entweder deterministisch oder stichprobenartig, jedoch in sehr fundierter Weise, demonstriert, indem dieser Parameter an den Grenzwert (entweder null oder unendlich) geführt werden. Solche Ergebnisse werden als Grenzwerttheoreme bezeichnet, welche Gesetze großer Zahlen (Laws of Large Numbers, LLNs) beinhalten. Ein Gesetz großer Zahlen (LLN) geht oft mit einem zentralen Grenzwerttheorem und/oder einem großen Abweichungsprinzip einher. Der Begriff „große Abweichung“ beruht auf der Tatsache, dass ein komplementäres seltenes Ereignis eine große Abweichung von dem typischen Verhalten darstellt. Forscher untersuchten die Eigenschaften großer Abweichungen bei einer Reihe von Modellen, um einfache Ausdrücke für die qequenchten und gemittelten großen Abweichungsratenfunktionen zu erlangen. Die Ratenfunktionen wurden verglichen, um eine Formel zu entdecken, welche diese miteinander verbindet. Ergebnisse und Verfahren großer Abweichungen führten zu präzisen Ergebnissen für variationale Formeln, die einfacher waren, als die in der Fachliteratur bestehenden Formeln für die Beschreibung des Unordnungszustandes der Zufallsumgebung. Das Projekt leistete dank eines vereinheitlichen Ansatzes für Random-Media-Modelle und der Entwicklung robuster Verfahren einen signifikanten Beitrag für die Wahrscheinlichkeitstheorie. Dieser vereinheitlichte Ansatz basierte darauf, dass die Perspektive des Teilchens eingenommen wird, welches die Zufallsbewegung (erste Ebene) in der Zufallsumgebung (zweite Ebene) ausführt und darauf, dass die beiden Zufälligkeitsebenen auf eine Ebene reduziert werden. Im Zuge von LARGEDEVRWRE wurden weitere Modelle mit zwei Zufälligkeitsebenen untersucht, stochastische Begegnung-Paarung-Modelle aus dem Bereich der Populationsdynamik. Diese Modelle werden dabei behilflich sein, das wissenschaftliche Verständnis über die Evolution und die Dynamik sexuell übertragener Krankheiten zu verbessern und können ebenfalls auf die Informatik und Wirtschaftswissenschaften angewandt werden.
Schlüsselbegriffe
Random walk in a random environment, große Abweichung, LARGEDEVRWRE, Stochastikmodelle, Gesetze der großen Zahlen
