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Singularities of Lie Group Actions in Geometry and Dynamics

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La théorie de la réduction et l'équilibre relatif

Les mathématiques permettent de décrire des phénomènes dans des conditions variables, et de les représenter par des modèles informatisés. De nouvelles méthodes pourraient apporter des informations sur le comportement dynamique de nombreux systèmes physiques.

Économie numérique

Les méthodes mathématiques facilitent la prévision des comportements, qui peuvent être vérifiés ensuite expérimentalement. Le cycle de modélisation et d'expérimentation ou observation affine progressivement le réalisme de la description du phénomène étudié: depuis la formation des étoiles jusqu'à la fusion des matières plastiques, les mathématiques expliquent le pourquoi et le comment, pourvu que l'on dispose du langage adéquat. La théorie des groupes de Lie est de plus en plus importante dans les descriptions fondamentales de la physique moderne, unifiant de nombreux domaines associés. Elle est la base de la théorie moderne des particules élémentaires, et donc essentielle pour décrire la nature de l'univers. Le projet SILGA («Singularities of Lie group actions in geometry and dynamics»), financé par l'UE, s'est intéressé à deux applications particulières des groupes de Lie. L'une des principales voies de recherche dans ce domaine est de simplifier ces représentations mathématiques tout en préservant la représentation des propriétés physiques et mécaniques des systèmes étudiés (c'est la théorie de la réduction). Ces bases sont importantes pour décrire des concepts mathématiques modernes comme la théorie des cordes, elles ont donc modelé la perspective globale du projet. La perspective locale du projet était l'équilibre relatif de systèmes hamiltoniens. Les mathématiques utilisent les symétries pour apporter d'importantes informations qualitatives, comme celles concernant la stabilité ou les bifurcations au voisinage d'une solution. Le projet SILGA a utilisé des méthodes semi-locales pour obtenir une forme mathématique convenant à la théorie de la réduction. Il l'a appliquée pour perfectionner les descriptions mathématiques de divers phénomènes dans plusieurs contextes dynamiques et géométriques. Ceci a conduit à un résultat révolutionnaire, un cadre commun pour l'équilibre relatif de systèmes hamiltoniens. Ce cadre a servi à démontrer quasiment tous les résultats précédents en matière d'équilibre relatif, apportant de nouveaux résultats qui ont fait avancer la théorie. Le projet a développé les bases mathématiques nécessaires pour prévoir et décrire plusieurs comportements critiques pour la physique moderne. Au passage, les chercheurs ont développé leurs techniques et leurs connaissances, ce qui aura un impact de longue durée sur la carrière qu'ils ont choisie.

Mots‑clés

Théorie de la réduction, équilibre relatif, mathématiques, modèles informatisés, systèmes physiques, groupe de Lie, physique, singularités, actions sur le groupe de Lie, géométrie, Hamiltonien, symétries

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