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De nouvelles perspectives sur les espaces linéaires partiels hautement symétriques

Notre compréhension des formes mathématiques rares vient d’être approfondie grâce aux recherches menées par un boursier Marie Skłodowska-Curie, dont les travaux permettent aux théoriciens des groupes de mieux comprendre la symétrie.

Recherche fondamentale

Dans la nature, la symétrie est omniprésente. Les mathématiciens utilisent un outil appelé «groupe» pour saisir cette symétrie par le mouvement. Par exemple, un carré peut être tourné de 90 degrés ou réfléchi de haut en bas sans que son apparence soit modifiée. En répétant ce processus, on peut obtenir huit mouvements différents préservant la symétrie. Cette série de mouvements constitue un groupe. «Les objets qui présentent le plus de symétrie sont ceux dont les groupes sont les plus grands, et de tels objets sont étonnamment rares», explique Joanna Fawcett, titulaire d’une bourse individuelle Marie Skłodowska-Curie au sein du département de mathématiques de l’Imperial College London. «Comme leur rareté nous permet de constituer une liste exhaustive de ces objets, nous sommes mieux à même de comprendre l’essence de la symétrie.» Les recherches de Joanna Fawcett portent principalement sur la théorie des groupes, la combinatoire, la géométrie discrète et la théorie des représentations. Grâce au soutien du projet HSPLS, financé par l’UE, elle a récemment mené des recherches approfondies sur des objets appelés espaces linéaires partiels (PLS), soit des espaces constitués d’une série de points et de lignes dont chaque ligne peut être considérée comme un ensemble de points. Son objectif était de comprendre les PLS pour lesquels les symétries locales découlent toujours des symétries globales.

Trois objectifs, beaucoup de questions

Lorsque les lignes ont toutes exactement deux points, les PLS sont appelés graphes ou réseaux. Mathématiquement, un graphe est homogène lorsque deux sous-graphes se ressemblent. Ces graphes homogènes sont extrêmement rares et ont tous été identifiés. Ce qui intéresse plus particulièrement Joanna Fawcett, ce sont les sous-graphes ayant une certaine structure spécifiée, comme ceux qui apparaissent dans une série X (une propriété de symétrie appelée X-homogénéité). «Quand nous faisons varier les possibilités pour X, pouvons-nous encore énumérer les graphes X-homogènes, et pouvons-nous également le faire pour tous les PLS et pas uniquement pour les graphes?», s’interroge Joanna Fawcett. «Par ailleurs, le groupe d’un PLS homogène est spécial parce qu’il présente un petit rang. Or notre compréhension des groupes de rang 4 ou 5 est restée incomplète depuis plus de 30 ans, pouvons-nous y remédier?» Pour répondre à ces questions, Joanna Fawcett a orienté ses recherches en fonction de trois objectifs principaux. Tout d’abord, énumérer les PLS C-homogènes, où C consiste en tous les PLS connectés. Ensuite, démontrer son hypothèse selon laquelle tout graphique C5-homogène contenant des carrés mais pas des triangles est C-homogène, où C5 désigne les graphiques connectés avec au maximum 5 points. Enfin, compléter le classement des groupes avec le rang 4 ou 5.

Un outil utile pour comprendre la symétrie

Selon Joanna Fawcett, il reste quelques corrections mineures à apporter, et une fois cela fait, elle aura atteint ses trois objectifs: «En combinant les résultats obtenus au cours de ce projet et mes travaux antérieurs, nous disposons désormais d’une compréhension presque complète des graphes C7-homogènes.» Joanna Fawcett note que ses travaux portant sur le troisième objectif fourniront aux théoriciens des groupes un outil utile pour comprendre la symétrie. «On a l’impression d’être au sommet de l’iceberg pour comprendre les effets des choix de la série X lorsqu’on étudie les PLS X-homogènes», ajoute Mme Fawcett. «Bien que l’étude de l’X-homogénéité des PLS ait révélé que ces objets présentent encore plus de symétrie que nous le pensions au départ, si nous voulons aller au fond de ce mystère, nous devons encore envisager de nombreuses autres possibilités pour X, et ce de manière plus systématique.»

Mots‑clés

HSPLS, espaces linéaires partiels, Marie Skłodowska-Curie, mathématiciens, symétrie, mathématiques, théorie des groupes

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