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Nuevos conocimientos sobre espacios lineales parciales de alta simetría

Gracias a la investigación realizada por un beneficiario de una beca Marie Skłodowska-Curie, se ha profundizado en el conocimiento de formas matemáticas raras, con un trabajo que ofrece a los teóricos de los grupos un conocimiento más profundo de la simetría.

Investigación fundamental

La simetría es ubicua en la naturaleza. Los matemáticos utilizan una herramienta llamada grupo para capturar esta simetría mediante el movimiento. Como ejemplo, si consideramos un cuadrado, podemos rotarlo noventa grados o reflejarlo horizontalmente sin alterar su apariencia. Repitiendo este proceso, podemos obtener ocho movimientos que conservan la simetría. Esta colección de movimientos es un grupo. Como explica Joanna Fawcett, beneficiaria individual de una beca Marie Skłodowska-Curie en el Departamento de Matemáticas del Imperial College London: «Los objetos con la mayor simetría son los que tienen los grupos mayores, y estos objetos son sorprendentemente raros. Puesto que, debido a esta rareza, podemos enumerar todos estos objetos, podemos comprender mejor la esencia de la simetría». La investigación de Fawcett se centra principalmente en la teoría de grupos, la combinatoria, la geometría discreta y la teoría de la representación. Mediante el soporte del proyecto HSPLS, financiado con fondos europeos, recientemente realizó una investigación minuciosa de unos objetos denominados espacios lineales parciales (PLS, por sus siglas en inglés), o una colección de puntos y líneas tales que se puede considerar cada línea como una colección de puntos. El objetivo era comprender los PLS para los cuales siempre surgen simetrías locales a partir de las globales.

Tres objetivos, muchas preguntas

Cuando todas las líneas tienen exactamente dos puntos, los PLS se llaman grafos o redes. Matemáticamente, un grafo es homogéneo siempre que dos subgrafos tengan el mismo aspecto. Estos grafos son extremadamente raros y todos están identificados. El interés de Fawcett se centra en los subgrafos con una estructura especificada, como los que aparecen en una colección X (una propiedad de simetría que se conoce como homogeneidad de X). «A medida que variamos las posibilidades para X, ¿todavía podemos numerar los grafos X homogéneos? y ¿también podemos hacerlo para todos los PLS, no solo los grafos?», pregunta Fawcett. «Además, el grupo de PLS homogéneos es especial porque tiene un rango pequeño y llevamos treinta años sin comprender totalmente los grupos con rango cuatro o cinco 5. ¿Podemos remediarlo?» Para responder a estas preguntas, la investigación de Fawcett se centró en alcanzar tres objetivos principales. En primer lugar, enumerar los PLS C homogéneos, donde C consiste en todos los PLS conectados. A continuación, demostrar su conjetura de que cualquier grafo C5 homogéneo que contenga cuadrados, pero no triángulos, es C homogéneo, donde C5 consiste en los grafos conectados con cinco puntos como máximo. Finalmente, completar la clasificación de los grupos con rango cuatro o cinco.

Una herramienta útil para comprender la simetría

Según Fawcett, después de atar los cabos sueltos, habrá alcanzado con éxito los tres objetivos: «La combinación de los resultados obtenidos en el proyecto con mi trabajo anterior significa que nuestro conocimiento de los grafos C7 homogéneos estará casi completo». Fawcett indica que su trabajo sobre el tercer objetivo proporcionará a los teóricos de los grupos una herramienta útil para comprender la simetría. «Da la sensación de que vemos la punta del iceberg para comprender los efectos de la elección de la colección X al estudiar los PLS X homogéneos», añade Fawcett. «Aunque el estudio de la homogeneidad de X en PLS reveló que estos objetos tienen todavía más simetría que lo que creíamos al principio. Para llegar al fondo del misterio, todavía debemos tener en cuenta muchas otras posibilidades para X de una forma más sistemática».

Palabras clave

HSPLS, espacios lineales parciales, Marie Skłodowska-Curie, matemáticos, simetría, matemáticas, teoría de grupos

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