Avances en la descripción matemática del movimiento
La bien conocida geometría euclidiana se usa para medir cantidades unidimensionales, tales como longitudes y ángulos. La geometría simpléctica se usa para describir objetos de números pares de dimensiones (dos, cuatro, seis, etc.). El concepto de estructura simpléctica surgió del estudio de sistemas mecánicos clásicos tales como los planetas en órbita alrededor del Sol, los péndulos oscilantes y la manzana en caída libre de Newton. Dichos sistemas tienen una trayectoria bien definida si se conocen dos datos: la posición y la velocidad (o, más precisamente, el momento). La física cuántica y el Principio de Incertidumbre de Heisenberg llevaron a que se modificaran las matemáticas. Para seguir el ejemplo anterior: ya no se puede considerar que una partícula ocupa un solo punto; más bien yace en una región del espacio definida por dos coordenadas de posición y dos coordenadas de momento (para un total de cuatro dimensiones). La continua evolución de las teorías matemáticas ha llevado al uso de los llamados grupos de Lie para estudiar las simetrías de las estructuras geométricas porque ayudan a «reducir» drásticamente el espacio geométrico (la dimensionalidad) sin menoscabar la exactitud o la claridad. Sin embargo, la observación de singularidades matemáticas (puntos en los que un objeto matemático dado deja de estar definido o deja de «comportarse bien» matemáticamente) ha tenido importantes efectos en el estudio de la estabilidad dinámica de los sistemas mecánicos y la inestabilidad de las soluciones matemáticas. Las complejas matemáticas que definen los sistemas mecánicos y dinámicos fueron el tema de estudio del proyecto Hamacsis («Las acciones hamiltonianas y sus singularidades»), dado que las ecuaciones de Hamilton proporcionan una manera de conectar la mecánica clásica con la mecánica cuántica. Entre los muchos avances logrados por Hamacsis se encuentra la investigación a fondo de los llamados fibrados cotangentes de vectores, la cual dio lugar a importantes descripciones de sus espacios reducidos en los casos de acciones simétricas y singularidades. Además, los investigadores demostraron explícitamente cómo las singularidades de las acciones simétricas en distintos tipos de sistemas mecánicos y dinámicos afectan a sus propiedades de estabilidad. Este hallazgo es aplicable a movimientos regulares que se observan en la naturaleza, por ejemplo en los cuerpos en rotación uniforme y en la evolución planetaria y estelar. Las complejas y novedosas tareas matemáticas efectuadas en el proyecto Hamacsis llevaron a la publicación de numerosos artículos en revistas científicas con revisión por pares. Los resultados aumentan considerablemente nuestro entendimiento de la mecánica clásica y la mecánica cuántica en lo relacionado con el movimiento de sistemas dinámicos complejos.
