Symmetrien, Integrierbarkeit und diskretes Kalkül
Raum-Zeit ist quantisiert, was durch die Planck-Länge charakterisiert wird. Selbst bei größeren Maßstäben, wo die Welt kontinuierlich erscheint, sind viele wichtige Phänomene diskret, etwa diejenigen, die in Kristallen oder in molekularen oder atomaren Ketten auftreten. Daher sind Differenzengleichungen vielleicht fundamentaler als Differentialgleichungen. Außerdem müssen Differentialgleichungen häufig numerisch gelöst werden, und das bedeutet, dass sie diskreditiert werden müssen - also durch ein Differenzensystem angenähert. Das Ziel des Projekts SPEDIS (Symmetry preserving discretization of integrable, superintegrable and nonintegrable systems) war die Entwicklung und effiziente Anwendung von mathematischen Werkzeugen für die Untersuchung von Quanten- und klassischen Phänomene in einer diskreten Umgebung. Das Hauptinteresse der Forscher lag auf Modellen, die Symmetrie- und Integrierbarkeitseigenschaften aufweisen können, insbesondere endlich und unendlich dimensionale integrierbare und superintegrable Modelle. Integrierbar Systeme haben so viele pendelnde Integrale der Bewegung wie Freiheitsgrade (die unendlich sein können). Superintegrable Systeme haben mehr Integrale der Bewegung als Freiheitsgrade, und diese Integrale bilden interessante nichtabelsche Algebren. Die Integrale der Bewegung sind mit Symmetrien des Systems verwandt. Das können Lie-Punkt-Symmetrien sein, aber in der Regel sind es verallgemeinerte Symmetrien, und diese bilden allgemeinere Algebren. Ziel des Projekts war es, Lie-Symmetrien von Differenzengleichungen zu studieren und zu verwenden und Differentialgleichungen zu diskretisieren, und dabei ihre wichtigsten Eigenschaften zu erhalten. Dazu gehören ihre Lie-Punkt-Symmetrien, generalisierten Symmetrien, Integrierbarkeit und Superintegrierbarkeit. Die Projektarbeit führte zu vielen wissenschaftlichen Arbeiten. Vier Publikationen widmen sich einem neuen Feld, nämlich der Symmetrie-erhaltenden Diskretisierung partieller Differentialgleichungen, und haben praktische Anwendungen im Bereich der geometrischen Integration. Drei befassen sich mit Gleichungen mit unendlich dimensionalen Symmetrie-Algebren. Drei andere betreffen nichtlineare gewöhnliche Differential- und Differenzengleichungen: die Bildung von ersten Integralen, Diskretisierung und nicht-lineare Überlagerungsformeln. Vier Arbeiten haben neue Arten von superintegrierbaren Systemen zum Thema. Sie umfassen Teilchen in Magnetfeldern, Teilchen mit Spin und mit Integralen der Bewegung höherer Ordnung.
Schlüsselbegriffe
Mathematische Werkzeuge, Differenzengleichungen, Differentialgleichungen, SPEDIS, integrierbar
