Simetrías, integrabilidad y cálculo discreto
El espacio-tiempo está cuantizado, caracterizado por la longitud de Planck. Incluso en escalas más largas, en las cuales el mundo parece continuo, muchos fenómenos importantes son discretos, como los que tienen lugar en cristales o en cadenas atómicas o moleculares. Así, las ecuaciones de diferencias pueden ser más fundamentales que las diferenciales. Además, a menudo, las ecuaciones diferenciales se deben resolver numéricamente y eso significa que se deben discretizar, es decir, aproximar mediante un sistema de diferencias. La finalidad del proyecto SPEDIS (Symmetry preserving discretization of integrable, superintegrable and nonintegrable systems) era desarrollar y aplicar herramientas matemáticas eficientes para estudiar fenómenos cuánticos y clásicos en un entorno discreto. El principal interés de los investigadores se centró en modelos que pudieran tener propiedades de simetría e integrabilidad, en particular, modelos de dimensión finita e infinita, integrables y superintegrables. Los sistemas integrables tienen tantas integrales conmutativas de movimiento como grados de libertad (que pueden ser infinitos). Los sistemas superintegrables tienen más integrales de movimiento que grados de libertad y estas integrales forman álgebras no abelianas interesantes. Las integrales de movimiento están relacionadas con las simetrías del sistema. Pueden ser simetrías puntuales de Lie pero, normalmente, son simetrías generalizadas y forman álgebras más generales. El objetivo del proyecto fue estudiar y utilizar simetrías de Lie de ecuaciones de diferencias y discretizar ecuaciones diferenciales, lo cual conserva sus propiedades más importantes. Estas incluyen sus simetrías puntuales de Lie, simetrías generalizadas, integrabilidad y superintegrabilidad. El trabajo del proyecto dio lugar a numerosos artículos científicos. Cuatro publicaciones están dedicadas a un nuevo campo, la discretización de ecuaciones diferenciales parciales conservando la simetría, y tienen aplicaciones prácticas en el campo de la integración geométrica. Tres están relacionadas con ecuaciones con álgebras de simetría dimensional infinita y otras tres tratan las ecuaciones diferenciales y de diferencias ordinarias no lineales: la construcción de integrales de primer orden, la discretización y fórmulas de superposición no lineales. Cuatro están dedicadas a nuevos tipos de sistemas superintegrables. Implican a partículas en campos magnéticos, partículas con espín e integrales de movimiento de orden mayor.
Palabras clave
Herramientas matemáticas, ecuaciones de diferencias, ecuaciones diferenciales, SPEDIS, integrable
