Simmetrie, integrabilità e calcolo discreto
Lo spazio-tempo è quantizzato, caratterizzato dalla lunghezza di Planck. Anche su scala più ampia, dove il mondo appare continuo, molti fenomeni importanti sono discreti, come per esempio quelli che si verificano nei cristalli o nelle catene molecolari o atomiche. Quindi, le equazioni alle differenze possono essere più importanti rispetto a quelli differenziali. Inoltre, le equazioni differenziali devono spesso essere risolte numericamente, e ciò significa che devono essere discretizzate, cioè approssimate da un sistema di differenze. L’obiettivo del progetto SPEDIS (Symmetry preserving discretization of integrable, superintegrable and nonintegrable systems) era quello di sviluppare e applicare efficaci strumenti matematici per lo studio dei fenomeni quantistici e classici in un ambiente discreto. L’interesse principale dei ricercatori ha riguardato modelli che possono avere proprietà di simmetria e integrabilità, in particolare modelli integrabili e superintegrabili con dimensioni finite e infinite. I sistemi integrabili vantano tanti integrali di moto quanti sono i gradi di libertà (che possono essere infiniti). I sistemi superintegrabili sono caratterizzati da più integrali di moto rispetto ai gradi di libertà, e questi integrali formano interessanti algebre non abeliane. Gli integrali di moto sono relazionati alle simmetrie del sistema. Queste possono essere simmetrie di Lie di tipo puntuale, ma di solito sono simmetrie generalizzate e formano algebre più generali. L’obiettivo del progetto è stato quello di studiare e utilizzare le simmetrie di Lie relative a equazioni alle differenze e di discretizzare le equazioni differenziali, conservando le loro proprietà più importanti. Tali proprietà includono simmetrie di Lie di tipo puntuale, simmetrie generalizzate, integrabilità e superintegrabilità delle equazioni differenziali. Il lavoro del progetto ha prodotto numerose pubblicazioni scientifiche. Quattro pubblicazioni sono dedicate ad un nuovo campo, vale a dire la simmetria che preserva la discretizzazione delle equazioni differenziali parziali, e vantano applicazioni pratiche nel campo dell’integrazione geometrica. Tre pubblicazioni riguardano le equazioni con algebre a infinita simmetria dimensionale. Ulteriori tre riguardano equazioni differenziali e alle differenze ordinarie non lineari: costruzione di integrali primi, discretizzazione e formule di sovrapposizione non lineari. Altre quattro sono dedicate a nuovi tipi di sistemi superintegrabili. Questi coinvolgono le particelle nei campi magnetici, le particelle con spin, e con integrali di moto di ordine superiore.
Parole chiave
Strumenti matematici, equazioni alle differenze, equazioni differenziali, SPEDIS, integrabile
